Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://lnfm1.sai.msu.ru/grav/russian/lecture/tfe/node8.html
Дата изменения: Mon Nov 4 17:50:27 2002 Дата индексирования: Mon Oct 1 23:38:27 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: вторая космическая скорость |
Формула Сомильяны. Нормальная сила тяжести. Вторые производные гравитационного потенциала. Локальное уравнение поверхности уровня. Кривизны и радиусы кривизны нормального сечения поверхности уровня. Вторые производные нормального потенциала. Первые и вторые производные гравитационного потенциала в околоземном пространстве.
Итальянский геодезист Сомильяна (Somigliana) в 1929 году получил точную формулу, показывающую распределение силы тяжести на уровенной поверхности эллипсоида вращения. Вопреки правилам русского языка эта формулa вошла в русскую литературу как формула Сомильяна, как если бы его фамилия была Сомильян. Мы будем склонять его фамилию, поэтому должны назвать его формулу именем Сомильяны.
Как мы видели, потенциал притяжения эллипсоида в эллипсоидальных координатах имеет вид (формула (6.17)):
Потенциал тяжести отличается тем, что аддитивно включает в себя центробежный потенциал
Таким образом
Учитывая, что , получим
Для того, чтобы получить силу тяжести на поверхности эллипсоида , необходимо продифференцировать функцию вдоль координатной линии Элемент дуги в этом случае равен , где -- коэффициент Ламе, который, в данном случае, равен
Таким образом, производную потенциала тяжести по нормали к поверхности эллипсоида можно записать так
Теперь удельную силу тяжести на поверхности эллипсоида можно записать так
Мы получили искомую формулу для удельной силы тяжести на поверхности уровенного эллипсоида. Однако нам необходимо избавиться от постоянных и . Заметим, что точка , соответствует полюсу эллипсоида, а точка , -- экватору. Будем снабжать обозначение для силы тяжести соответственно индексами и е. Из (7.2) получим
Теперь формулу (7.2) можно переписать следующим образом
Для того, чтобы получить формулу Сомильяны в окончательном виде, необходимо от эллипсоидальной системы координат перейти к геодезической. Сопоставим две системы координат для точек поверхности эллипсоида
где (см. лекцию 2, раздел 2.4).
Поскольку ( понятия долготы в геодезической и эллипсоидальной системах координат совпадают), поэтому
Отсюда
Имеем очевидные выражения для связи и :
После несложных упрощений, окончательно получим формулу Сомильяны
В геодезии и геофизике основной характеристикой гравитационного поля являются гравитационные аномалии, полученные как разность между наблюденным значением удельной силы тяжести и предвычисленным. Однако сравнивать эти значения можно только, в случае когда наблюденное и нормальное значения относятся к одной и той же точке пространства. В действительности же нормальную силу тяжести относят к общему земному эллипсоиду, а наблюденное -- к физической поверхности Земли. Такие аномалии в геодезии именуют смешанными аномалиями. Иногда наблюденное значение редуцируют, то есть вносят поправки, позволяющие вычислить значение силы тяжести в другой точке или на другой поверхности. При этом используют ту или иную гипотезу о строении верхних слоев Земли. В этом случае понятие гравитационные аномалии уточняют, например гравитационные аномалии в редукции Фая или гравитационные аномалии в редукции Гленни.
Итак, нормальное значение силы тяжести относят к общему земному эллипсоиду, которое можно вычислить по строгой формуле (7.4). Эта формула строгая лишь в том случае, когда поверхность эллипсоида есть поверхность уровня, чего в действительности нет. На практике в задачах геодезии и геофизики применяют приближенную формулу для нормальной силы тяжести. Причем численные значения коэффициентов, входящие в эту формулу, утверждают на Генеральной ассамблее Международного Союза геодезии и геофизики.
Вернемся к формуле Сомильяны. Упростим ее, отбрасывая малые величины порядка куба сжатия. Введем в обращение понятия геометрического сжатия и гравитационного сжатия . Обе величины мы будем считать одного порядка малости. В формуле Сомильяны мы должны заменить величиной , а вместо взять :
Разлагая полученное выражение в степенной ряд относительно и , будем иметь
Поскольку , полученная формула принимает вид
Итак, сила тяжести на поверхности эллипсоида вращения (уровенного) с точностью до малых второй степени относительно сжатия может быть представлена формулой
численные значения коэффициентов определяются эмпирически. На Генеральной Ассамблее Международного Союза, состоявшейся в Москве в 1971 году рекомендованы следующие значения (сила тяжести -- в миллигалах)
Гравитационный потенциал, а вернее силовая функция для удельной силы тяжести является непрерывной функцией. Принимающей единственное значение в каждой точке пространства. Поверхности равного потенциала (эквипотенциальные поверхности) как угодно плотно заполняют внешнее пространство, нигде не пересекаясь. Вектор силы тяжести в точке P направлен перпендикулярно к эквипотенциальной поверхности, проходящей через эту точку. Таким образом, гравитационный потенциал во внешнем пространстве образует силовое поле. Оно пронизано силовыми линиями, причем направление силы тяжести совпадает с касательной к силовой линии.
Из сказанного следует, что силовые линии не могут пересекаться, так как в точке пересечения не может существовать два вектора силы тяжести. Вектор силы тяжести (удельной) можно записать следующим образом
В геодезической и геофизической практике рассматривают также и вторые производные гравитационного потенциала, которые отмечают двойными нижними индексами
Вторые производные потенциала можно изобразить в виде квадратной матрицы
Остается 5 независимых элементов этой матрицы, которая представляет собой тензор вторых производных гравитационного потенциала.
Рассуждения можно продолжить и дальше, образуя третьи производные, четвертые и т.д. Но уже третьи производные нельзя изобразить в виде матрицы: это будет куб размером 3х3, который на двухмерном листе бумаги изобразить трудно. Совершенно невозможно изобразить в виде геометрических фигур производные более высоких порядков. Это будут тензоры высоких валентностей.
Эквипотенциальную поверхность в окрестности точки можно аппроксимировать плоскостью -- это будет касательная плоскость -- эллипсоидом, гиперболоидом и другими поверхностями второго порядка. В последнем случае уравнение этой поверхности будет иметь вид
Уравнение касательной плоскости получим, отбрасывая в (7.7) квадратичную форму
где . Величины -- суть компоненты вектора силы тяжести. Изменяя постоянную , получим семейство плоскостей, параллельных той, что проходит через точку P.
Для упрощения выкладок, часто направление местной геодезической системы выбирают следующим образом: ось PX направляют на север, ось PY -- строго на восток, а ось PZ совпадает с вектором силы тяжести и направлена вертикально вниз. В этом случае . Уравнение(7.8) принимает вид . Обозначим приращение высоты буквой , получим формулу для вычисления приращения потенциала , которую часто называют формулой Брунса.
Определим кривизну нормального сечения уровенной поверхности . Решим это уравнение относительно переменной : . Тогда радиус кривизны в точке по формуле Монжа определяется формулой , где -- угол, который образует ось PX с плоскостью нормального сечения. В данной формуле буквами обозначены вторые производные
Наша поверхность уровня задана не разрешенной относительно вертикальной координаты. Поэтому нам нужно получить формулу для кривизны сечения поверхности, заданной в неявном виде. Продифференцируем зависимость по одной из координат, например по . Тогда
Рассмотрим важные частные случаи: