Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://lnfm1.sai.msu.ru/grav/russian/lecture/tfe/node8.html
Дата изменения: Mon Nov 4 17:50:27 2002
Дата индексирования: Mon Oct 1 23:38:27 2012
Кодировка: Windows-1251

Поисковые слова: вторая космическая скорость
Лекция 7. Нормальное поле тяжести Земли << Лекция 6. Нормальная Земля | Оглавление | Лекция 8. Фигура геоида >>

Разделы


Лекция 7. Нормальное поле тяжести Земли

Формула Сомильяны. Нормальная сила тяжести. Вторые производные гравитационного потенциала. Локальное уравнение поверхности уровня. Кривизны и радиусы кривизны нормального сечения поверхности уровня. Вторые производные нормального потенциала. Первые и вторые производные гравитационного потенциала в околоземном пространстве.

7.1 Формула Сомильяны

Итальянский геодезист Сомильяна (Somigliana) в 1929 году получил точную формулу, показывающую распределение силы тяжести на уровенной поверхности эллипсоида вращения. Вопреки правилам русского языка эта формулa вошла в русскую литературу как формула Сомильяна, как если бы его фамилия была Сомильян. Мы будем склонять его фамилию, поэтому должны назвать его формулу именем Сомильяны.

Как мы видели, потенциал притяжения эллипсоида в эллипсоидальных координатах имеет вид (формула (6.17)):

Потенциал тяжести отличается тем, что аддитивно включает в себя центробежный потенциал

Таким образом

(7.1)

Учитывая, что , получим

где обозначено

Для того, чтобы получить силу тяжести на поверхности эллипсоида , необходимо продифференцировать функцию вдоль координатной линии Элемент дуги в этом случае равен , где -- коэффициент Ламе, который, в данном случае, равен

Таким образом, производную потенциала тяжести по нормали к поверхности эллипсоида можно записать так

где

Очевидно, что , но , , поэтому

Теперь удельную силу тяжести на поверхности эллипсоида можно записать так

(7.2)

Мы получили искомую формулу для удельной силы тяжести на поверхности уровенного эллипсоида. Однако нам необходимо избавиться от постоянных и . Заметим, что точка , соответствует полюсу эллипсоида, а точка , -- экватору. Будем снабжать обозначение для силы тяжести соответственно индексами и е. Из (7.2) получим

то есть

Теперь формулу (7.2) можно переписать следующим образом

(7.3)

Для того, чтобы получить формулу Сомильяны в окончательном виде, необходимо от эллипсоидальной системы координат перейти к геодезической. Сопоставим две системы координат для точек поверхности эллипсоида

где (см. лекцию 2, раздел 2.4).

Поскольку ( понятия долготы в геодезической и эллипсоидальной системах координат совпадают), поэтому

Отсюда

Имеем очевидные выражения для связи и :

После несложных упрощений, окончательно получим формулу Сомильяны

(7.4)

7.2 Нормальная сила тяжести

В геодезии и геофизике основной характеристикой гравитационного поля являются гравитационные аномалии, полученные как разность между наблюденным значением удельной силы тяжести и предвычисленным. Однако сравнивать эти значения можно только, в случае когда наблюденное и нормальное значения относятся к одной и той же точке пространства. В действительности же нормальную силу тяжести относят к общему земному эллипсоиду, а наблюденное -- к физической поверхности Земли. Такие аномалии в геодезии именуют смешанными аномалиями. Иногда наблюденное значение редуцируют, то есть вносят поправки, позволяющие вычислить значение силы тяжести в другой точке или на другой поверхности. При этом используют ту или иную гипотезу о строении верхних слоев Земли. В этом случае понятие гравитационные аномалии уточняют, например гравитационные аномалии в редукции Фая или гравитационные аномалии в редукции Гленни.

Итак, нормальное значение силы тяжести относят к общему земному эллипсоиду, которое можно вычислить по строгой формуле (7.4). Эта формула строгая лишь в том случае, когда поверхность эллипсоида есть поверхность уровня, чего в действительности нет. На практике в задачах геодезии и геофизики применяют приближенную формулу для нормальной силы тяжести. Причем численные значения коэффициентов, входящие в эту формулу, утверждают на Генеральной ассамблее Международного Союза геодезии и геофизики.

Вернемся к формуле Сомильяны. Упростим ее, отбрасывая малые величины порядка куба сжатия. Введем в обращение понятия геометрического сжатия и гравитационного сжатия . Обе величины мы будем считать одного порядка малости. В формуле Сомильяны мы должны заменить величиной , а вместо взять :

Разлагая полученное выражение в степенной ряд относительно и , будем иметь

Поскольку , полученная формула принимает вид

Итак, сила тяжести на поверхности эллипсоида вращения (уровенного) с точностью до малых второй степени относительно сжатия может быть представлена формулой

(7.5)

численные значения коэффициентов определяются эмпирически. На Генеральной Ассамблее Международного Союза, состоявшейся в Москве в 1971 году рекомендованы следующие значения (сила тяжести -- в миллигалах)

7.3 Вторые производные гравитационного потенциала

Гравитационный потенциал, а вернее силовая функция для удельной силы тяжести является непрерывной функцией. Принимающей единственное значение в каждой точке пространства. Поверхности равного потенциала (эквипотенциальные поверхности) как угодно плотно заполняют внешнее пространство, нигде не пересекаясь. Вектор силы тяжести в точке P направлен перпендикулярно к эквипотенциальной поверхности, проходящей через эту точку. Таким образом, гравитационный потенциал во внешнем пространстве образует силовое поле. Оно пронизано силовыми линиями, причем направление силы тяжести совпадает с касательной к силовой линии.

Из сказанного следует, что силовые линии не могут пересекаться, так как в точке пересечения не может существовать два вектора силы тяжести. Вектор силы тяжести (удельной) можно записать следующим образом

где -- орты, направленные соответственно вдоль осей PX, PY иPZ. Очевидно, что составляющие вектора силы тяжести суть первые производные потенциала тяжести

В геодезической и геофизической практике рассматривают также и вторые производные гравитационного потенциала, которые отмечают двойными нижними индексами

Вторые производные потенциала можно изобразить в виде квадратной матрицы

Полученная матрица имеет 9 элементов, но не все они независимы. Совершенно очевидно, что , , . Кроме того, след этой матрицы есть лапласиан, поэтому

(7.6)

Остается 5 независимых элементов этой матрицы, которая представляет собой тензор вторых производных гравитационного потенциала.

Рассуждения можно продолжить и дальше, образуя третьи производные, четвертые и т.д. Но уже третьи производные нельзя изобразить в виде матрицы: это будет куб размером 3х3, который на двухмерном листе бумаги изобразить трудно. Совершенно невозможно изобразить в виде геометрических фигур производные более высоких порядков. Это будут тензоры высоких валентностей.

Эквипотенциальную поверхность в окрестности точки можно аппроксимировать плоскостью -- это будет касательная плоскость -- эллипсоидом, гиперболоидом и другими поверхностями второго порядка. В последнем случае уравнение этой поверхности будет иметь вид

(7.7)

Уравнение касательной плоскости получим, отбрасывая в (7.7) квадратичную форму

(7.8)

где . Величины -- суть компоненты вектора силы тяжести. Изменяя постоянную , получим семейство плоскостей, параллельных той, что проходит через точку P.

Для упрощения выкладок, часто направление местной геодезической системы выбирают следующим образом: ось PX направляют на север, ось PY -- строго на восток, а ось PZ совпадает с вектором силы тяжести и направлена вертикально вниз. В этом случае . Уравнение(7.8) принимает вид . Обозначим приращение высоты буквой , получим формулу для вычисления приращения потенциала , которую часто называют формулой Брунса.

Определим кривизну нормального сечения уровенной поверхности . Решим это уравнение относительно переменной : . Тогда радиус кривизны в точке по формуле Монжа определяется формулой , где -- угол, который образует ось PX с плоскостью нормального сечения. В данной формуле буквами обозначены вторые производные

Наша поверхность уровня задана не разрешенной относительно вертикальной координаты. Поэтому нам нужно получить формулу для кривизны сечения поверхности, заданной в неявном виде. Продифференцируем зависимость по одной из координат, например по . Тогда

Дифференцируя второй раз, получим:

Но точка есть точка касания, где , поэтому . Используя обозначения Монжа, будем иметь . Рассуждая аналогичным образом, легко получим , . Теперь формула Монжа принимает вид

(7.9)

Рассмотрим важные частные случаи: