Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://lnfm1.sai.msu.ru/grav/russian/lecture/mon/3.doc
Дата изменения: Mon Nov 4 17:50:24 2002
Дата индексирования: Mon Oct 1 23:33:54 2012
Кодировка: koi8-r

Поисковые слова: изучение луны

Глава 3
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТАБЛИЧНЫХ ФУНКЦИЙ

3.1. Интерполирование
3.1.1. Графическое интерполирование
В разделе 2.6. мы уже сталкивались с задачей интерполирования -
определения значения функции для промежуточных значений аргумента. Мы
пользовались лишь линейным интерполированием, предполагая, что график
изменения функции на одном шаге достаточно хорошо аппроксимирует хорда,
соединяющая две соседние точки. На практике это условие выполняется далеко
не всегда. Результат будет более точным, если через заданные точки провести
кривую, как можно более плавную (см. рис.) без изломов. Тогда значение
функции y(x) для значения x=( можно будет просто считать с графика.
Конечно, такой способ интерполирования опирается скорее на интуицию, чем на
строгую математику, но, тем не менее, это лучше, чем линейное
интерполирование. Особенно хороший результат будет получен в случае
применения функциональных шкал, когда кривая зависимости y от x спрямлена.
В случае, если вид функции y(x) известен, но неизвестны лишь ее
параметры, то интерполирование может быть строгой математической операцией.
Предположим, мы знаем, что график нашей функции, заданной лишь в
дискретных точках, есть синусоида, сумма синусоид, экспонента и т.д., но
параметры этих функций нам неизвестны (амплитуда) фаза, показатель степени
и т.д.). Тогда задача сводится к определению этих параметров по заданным
значениям функции. Для определенности будем считать, что искомых параметров
четыре. Тогда нам достаточно иметь четыре значения функции, чтобы
определить эти параметры
[pic] [pic] [pic] [pic]
Имеем четыре уравнения (нелинейных!) с четырьмя неизвестными. Если решение
существует и наши уравнения совместны, то мы получим единственное решение -
набор параметров, определяющих эмпирическую формулу [pic] Подставляя сюда
x=( , вычислим проинтерполированное значение y(().
В подавляющем большинстве случаев эмпирическая формула не совпадает с
точной. Она много проще. Представим себе, что нам заданы в виде таблице
координаты Марса на каждые сутки в 0h, которые получены путем численного
интегрирования уравнений небесной механики. Но вы хотите наблюдать планету
в 1930, а не в 0h. На этот момент времени координаты Марса в Ежегоднике
отсутствуют. Как определить ( и ( Марса в момент наблюдения? Запускать
машину численного интегрирования громоздких уравнений? Конечно, нет.
Достаточно проследить изменение координат в ближайшие к моменту наблюдения
несколько суток и получить простую эмпирическую формулу, которая с точным
законом изменения координат никакой связи не имеет.
В астрономии наблюдают явления, которые вообще невозможно описать
математически строго. Взять, хотя бы. зависимость периода колебаний блеска
физически переменной звезды от ее массы. Никакая теория не может дать
точный результат, а наблюдения позволяют получить основные закономерности и
построить эмпирические формулы. Таковой, например, является зависимость
абсолютной звездной величины классической цефеиды от ее периода.

3.1.2. Интерполирование с помощью степенных многочленов
В качестве эмпирической формулы на небольшом отрезке изменения
аргумента табличной функции чаще всего берут степенной многочлен
[pic]
где [pic]- неизвестные которые должны быть определены из уравнений.
Допустим, что мы снова располагаем четырьмя наблюдениями.
Следовательно, имеем возможность определить четыре коэффициента многочлена
третьей степени [pic] Необходимое условие правильности выбора многочлена:
график изменения [pic] от аргумента х должен проходить строго через узлы
интерполирования [pic]. В нашем случае это условие приводит к уравнениям:
[pic] [pic]
[pic] [pic]
Решив эти уравнения относительно [pic] получим искомый многочлен. Тогда
проинтерполированное значение у на значение x=( получим, вычисляя значение
[pic], например, по схеме Горнера:
[pic]
Лагранж предложил изящный подход к определению степенного многочлена,
строго проходящего через узлы интерполяции и не требующий определения
коэффициентов этого многочлена. Полином Лагранжа, так называется этот
степенной многочлен, имеет вид
[pic] где [pic] [pic].
Покажем, что действительно, L(xk)=yk, k=0,1,.n, т.е. полином проходит
через узлы интерполяции.
Очевидно, что [pic] - полином степени n, не содержащий корня x=xi:
[pic]
Вычислим [pic]. При дифференцировании мы должны поочередно
дифференцировать каждый сомножитель и результат сложить:
[pic]
Подставляя сюда x=xi - значение одного из "нулей" функции [pic]- мы обратим
в нуль все слагаемые, кроме того, в котором множитель (x-xi) отсутствует:
[pic]
Рассмотрим отношение [pic]. Нетрудно видеть, что при x=xk , k( i, оно
обращается в нуль, так как xk - один из "нулей" функции [pic], а
знаменатель в нуль не обращается. При x=xi числитель и знаменатель
совпадают и отношение становится равным единице. Итак,
[pic] .
Отсюда непосредственно следует, что [pic]
В качестве примера построим степенной полином, проходящий через четыре
точки [pic] Имеем
[pic]
Для определения проинтерполированного значения [pic] нет необходимости
вычислять коэффициенты [pic] Достаточно подставить x=( в формулу Лагранжа и
определить числа, на которые нужно умножить [pic]

3.1.3. Погрешность интерполирования степенным многочленом
Рассмотрим некоторую известную функцию y(x). Возьмем n значений ее
аргумента [pic], которые соответствуют n+1 значению функции [pic]. Построим
интерполяционный полином Лагранжа и будем считать, что он представляет нашу
функцию на интервале [pic]. Разумеется, такое представление (аппроксимация)
не точно, [pic] отличается от y(x). Ошибкой аппроксимации будет [pic] Легко
показать, что эта ошибка обращается в нуль в точках [pic], так как из
построения полинома Лагранжа следует [pic]
Введем вспомогательную функцию[pic]где, как и прежде, [pic] Очевидно,
что и эта функция в точках [pic] обращается в нуль: [pic]
Следовательно, значения [pic] есть корни уравнения [pic] Число их
(n+1). Поскольку коэффициент К нами пока не определен, то им можно
воспользоваться для определения еще одного, (n+2)-го корня. Пусть этот
корень совпадает с моментом интерполяции x=( , т.е.
[pic]. Отсюда [pic]
Итак, функция [pic] имеет (n+2) нуля, т.е. пересекает ось абсцисс в
(n+2)-х точках (см. рис.). На каждом из интервалов [pic], [pic]... функция
[pic] имеет либо максимум либо минимум. В этих точках первая производная
обращается в нуль. Число таких нулей будет на один меньше, чем у исходной
функции. Вторая производная будет иметь еще на один нуль меньше и т.д.
Итак,
[pic] имеет n+2 корней,
[pic] имеет n+1 корней,
[pic] имеет n корней,
.................................................
[pic] имеет 2 корня,
[pic] имеет 1 корень.
Обозначив последний корень через [pic], будем иметь
[pic].
Степень полинома Лагранжа равна n (меньше, чем порядок производной).
Поэтому
[pic] при любом [pic].
Многочлен [pic] имеет n+1 производную. Последовательно дифференцируем n+1
раз:
[pic]
[pic]
[pic]
................................................
................
[pic]
Теперь будем иметь [pic]
Но К мы уже определили. Поэтому [pic] или [pic]
Вычислить точное значение погрешности интерполяции невозможно, так как
нам неизвестно значение [pic]. Однако можно оценить предельную погрешность
интерполяции.
Обозначим [pic]. Тогда [pic]
Мы получили формулу, позволяющую определить предельную абсолютную
погрешность интерполяции функции y(x) с помощью полинома степени n.
Приведем пример: возьмем функцию [pic] и аппроксимируем ее многочленом
второй степени по точкам (100,10), (121,11), (144,12).
Вычислим третью производную: [pic], [pic], [pic].
Наибольшее значение третья производная имеет на краю интервала
аппроксимации при x=100: [pic]
Определим предельную ошибку аппроксимации в точке x=115, т.е.
[pic]
Итак, погрешность аппроксимации функции [pic] параболой второй степени
на интервале (100,144) не превосходит [pic] Убедимся в этом, используя
электронную технику для вычисления функции [pic]: [pic].

Значение полинома Лагранжа в этой точке равно

[pic]
Следовательно, погрешность аппроксимации в точке x=115 равна [pic] По
абсолютной величине она, как и следовало ожидать, не превосходит ранее
полученное число 1.6(10-3 .

3.1.4. Интерполирование с помощью полиномов Чебышева
Полиномами Чебышева называют семейство степенных многочленов, которое
компактно можно записать так: [pic]. Они обладают рядом замечательных
свойств, которые делают их удобными для применения в задаче точечной
аппроксимации и интерполирования.
1о. Если известны два соседних полинома, то третий полином может быть
вычислен по рекуррентной формуле [pic]
Из основной формулы вытекает, что [pic]. Для определения многочленов более
высоких степеней необходимо воспользоваться рекуррентной формулой. Получим
[pic] [pic] [pic]
[pic] [pic] ..............
Заметим, что аргумент x задан на отрезке [-1,1]. Это следует из определения
полинома: [pic] не может быть по абсолютной величине больше 1.
2о. Полиномы Чебышева ортогональны с "функцией веса" [pic], т.е.
удовлетворяют формулам
[pic]
[pic]
Второе свойство позволяет аппроксимировать любые интегрируемые функции
линейной комбинацией полиномов Чебышева [pic]
Для определения коэффициентов [pic] умножим y(x) на [pic] и проинтегрируем
от -1 до 1:
[pic]
Вследствие ортогональности полиномов все интегралы от слагаемых равны нулю,
за исключением одного, который равен [pic], т.е. [pic] При k=0 получим
[pic]
Для вычисления коэффициентов необходимо знать функцию y(x) на интервале [-
1,1]. Она может быть получена из теории. Например, для определения
координат планет необходимо обращаться к численному интегрированию
уравнений небесной механики. При вычислении эфемерид Луны (предвычисленных
значений координат ( и () на момент наблюдений можно пользоваться либо
таблицей значений координат на каждый час, либо набором коэффициентов
полиномов Чебышева на каждые сутки. В последние годы в Ежегоднике публикуют
именно эти коэффициенты.
Приведем пример. Допустим, что нам нужно определить прямое восхождение Луны
в 22h00m 7 апреля 1993г.
Из Ежегодника выписываем коэффициенты A0 =2040.48159275
A1 = 70.34093466
A2 = 2039466
A3 = - 34786
A4 = - 4458
A5 = - 28
Вычислим значение аргумента [pic] [pic] Теперь значения полиномов
определяем по рекуррентной формуле:
[pic] [pic] [pic]
[pic] [pic] [pic]
Вычисляем искомые значения ( : [pic]
Остается перевести градусы в часы, минуты, секунды:
[pic] [pic] [pic]
Итак, значение прямого восхождения Луны в момент времени 22h00m 7.04.93
равно 14h2m25s.696.
Заметим, кстати, что коэффициенты полиномов Чебышева вычислены с
заведомо большим числом знаков, чем это нужно для обеспечения точности ( до
0.001s, так как 1(10-8 градуса в А0 обеспечивает 2(10-6 сек, что почти на
три порядка меньше требуемой 1(10-3 сек. Так что, отбросив 2 последние
цифры, мы не испортим результат.

3.1.5. Интерполяционные формулы Ньютона, Стирлинга, Бесселя
Способы определения интерполяционных многочленов, изложенные в этом
разделе, также не требуют определения коэффициентов этих многочленов. Они
базируются на вычислении разностей интерполируемых табличных функций.

Обыкновенные разности

Рассмотрим задачу определения функции в момент времени t, если функция
задана в виде таблицы значений, соответствующих определенным дискретным
моментам времени [pic] Предположим сначала, что эти моменты времени
равноотстоят друг от друга, т.е. [pic] Следовательно, [pic] Обыкновенными
разностями первого порядка называют числа, определенные следующим образом:
[pic] [pic]
[pic] ...................................
....................................
Целые числа к могут быть как положительными, так и отрицательными.
Индекс, приписываемый разности, относится к моменту середины интервала
[pic] , на котором эта разность вычислена.
Обыкновенными разностями второго порядка называются разности
обыкновенных разностей первого порядка:
[pic]
[pic]
..........................................
Индексы у вторых разностей равны среднему значению индексов первых
разностей из которых они образуются. Точно также можно получить разности
более высоких порядков. В результате получим таблицу разностей, например,
из 5 исходных значений таблицы функции (см. схему). Здесь верхние индексы
1,2,3,4 указывают на порядок разности (не степени!)
В интерполяционные формулы могут входить разности, стоящие только в
одной строке. Тогда недостающие числа получают как арифметическое среднее
значение между верхней и нижней строкой:
[pic] [pic] или [pic] [pic]




Интерполяционные формулы Ньютона

|Формула Ньютона для интерполирования |Существует вторая формула Ньютона для|
|"вперед" имеет вид |интерполирования "назад". Тогда |
| |момент интерполяции расположен в |
| |конце таблицы |
|[pic] |[pic] |
|где [pic] [pic] |где [pic] [pic] |
|[pic] |[pic] [pic] |
|[pic] |[pic] |
|.......... |............. |
|Легко заметить, что в этой формуле | |
|используются разности, расположенные на| |
|верхней стороне треугольника разностей | |
|(см. схему). | |
|Для получения хорошей точности нужно, | |
|чтобы величина [pic] была мала, т.е. | |
|момент интерполяции был близок к началу| |
|таблицы. | |




























Интерполяционная формула Стирлинга

Эта формула ориентирует на получение интерполированного значения точки
в центре таблицы. Как и в формулах Ньютона, аргумент - безразмерная
величина, равная [pic], а табличные значения функции расположены
симметрично относительно момента t0: [pic]. Строго в центре таблицы ( =0,
а в окрестности центра - величина ( меньше единицы по модулю, но может
быть как положительной, так и отрицательной.

Формула Стирлинга имеет вид

[pic],
где [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic] [pic] ...............
Здесь [pic]- центральные разности (разность с индексом 0, отнесенная к
моменту t0).

Интерполяционная формула Бесселя

Этих формул по крайней мере две (см. Б.М.Щиголев, "Математическая
обработка наблюдений"). Мы остановимся лишь на одной, рекомендуемой
астрономическими ежегодниками последних лет:
[pic],
где [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic] .................................
Следует особо обратить внимание на то, что индексы у разностей - 1/2, т.е.
все они лежат на строке между моментами времени t0 и t1.

3.2. Аналитическое представление длинных рядов наблюдений
В астрономической практике приходится иметь дело с длинными рядами
наблюдений. При обработке таких наблюдений требуется их аналитическое
представление (аппроксимация), с которым в дальнейшем можно обращаться как
с непрерывной функцией - интерполировать, дифференцировать, интегрировать.
Плавная кривая, которая при этом получается, имеет сложную конфигурацию с
множеством минимумов и максимумов. Аппроксимировать ее многочленами высоких
степеней - дело ненадежное и сложное. В последние годы для аналитического
представления длинных рядов наблюдений разработана теория сплайнов.
Сплайн - это функция, составленная из сопряженных отрезков степенных
многочленов, как правило, невысоких степеней. Для того, чтобы получить
некоторое представление о сплайнах, мы ограничимся степенью не выше
третьей.
Итак, отрезок времени [pic] разобьем на интервалы [pic], [pic],...
[pic], причем на границах этих интервалов нам известны значения функции
[pic], [pic],.... [pic]. Величина N может быть как угодно большой. Для
того, чтобы через эти точки провести кривую, нам нужно задать функцию с N+1
параметрами. Степенной многочлен для этих целей мало пригоден. Однако, на
каждом из отрезков [pic] значения функции [pic], [pic] можно соединить
отрезком прямой (степень равна 1), параболы (степень равна 2) или
кубической параболы (степень равна 3).
В первом случае мы получим ломаную кривую. К такому изображению
наблюдений прибегают, если 1) наблюдаемый процесс по своей природе не
является непрерывным, например, среднее число солнечных пятен, наблюдаемых
в течение месяца; 2) наблюдаемый процесс непрерывен, но осложнен
погрешностями наблюдений. Тогда плавный характер наблюдаемого процесса
можно проследить на фоне "пилы" погрешностей.
В случае, когда "пила" может быть объяснена слишком редкими
наблюдениями, нужно построить плавную кривую, соединяющую значения функции
без изломов. Для этой цели годится использование отрезков парабол и
кубических парабол. В первом случае можно обеспечить непрерывность не
только самой кривой, но и отсутствие изломов этой кривой (непрерывность
первой производной). Во втором случае обеспечивается более глубокое
сопряжение (непрерывность первой и второй производных) и, как это доказано
теоретически, минимум кривизны кривой.

Итак, пусть полином третьей степени

[pic]
аппроксимирует наблюдения на отрезке времени [pic]. Количество таких
отрезков будет равно N - на единицу меньше, чем число точек. Каждый отрезок
кубической параболы содержит 4 неизвестных коэффициента, т.е. всего имеем
4N неизвестных.
Эти неизвестные могут быть определены из следующих уравнений.
10. Все отрезки многочленов на своих концах проходят через заданные
значения функции
[pic]
20. Каждый из отрезков должен сопрягаться со следующим за ним
[pic].
Таким образом, имеем [pic] уравнений. Следовательно, для однозначного
определения коэффициентов не хватает 2-х уравнений. Их можно получить,
задавая, например, начальные условия [pic] или краевые условия [pic].
Решать системы уравнений можно обычным путем, обращая матрицы высокого
порядка на электронной вычислительной технике.
Можно строить сплайн и так, как изложено ниже. Допустим, что мы
располагаем рядом наблюдений [pic]. Первые четыре точки [pic] используем
для определения кубической параболы, проходящей через точки [pic] и[pic]
(первый интервал [pic]):
[pic],
например, с помощью полиномов Лагранжа. На втором интервале [pic] построим
другой отрезок кубической параболы:
[pic].
Для определения коэффициентов имеем четыре уравнения
[pic] [pic]
[pic] [pic]
решая которые, получим [pic]
Коэффициенты кубической параболы на интервале [pic] получим из уравнений
[pic] [pic]
[pic] [pic].
Продолжая процедуру, нетрудно построить очень длинные цепочки многочленов,
аппроксимирующих ряды наблюдений.
В современных методах обработки наблюдений сплайны широко применяются
не только для интерполяции, но, главным образом, для дифференцирования
наблюдательных данных. Примером тому могут служить наблюдения за лучевыми
скоростями искусственных спутников Луны или планет, позволяющими вычислить
лучевые ускорения, а следовательно, и гравитационные силы, которые
порождают эти ускорения. В свою очередь, гравитационные силы обусловлены
распределением масс внутри планеты и могут служить источником информации
для изучения внутреннего строения планет.
Современные методы математической обработки позволяют строить не
только интерполяционные, но и сглаживающие сплайны. Это такие сплайны,
которые аппроксимируют наблюдения более плавной кривой, чем
интерполяционные сплайны. Кривая проходит мимо точек, хотя и близко от них.
Степень сглаженности определяется выбором соответствующих параметров
алгоритма и практической целесообразностью. Вопросы, связанные с
применением сглаживающих сплайнов лежат за пределами нашего курса и будут
изучаться позже, при более глубоком изучении вычислительных методов
математики.

3.3. Численное дифференцирование
Понятие дифференцирования тесно связано с понятием непрерывности
функций. Поэтому, строго говоря, нельзя ставить задачу дифференцирования
функции, заданной в дискретных точках (таблицей). Однако, как правило,
таблица отражает значения функции, непрерывной, но заданной в дискретных
точках. Чтобы вычислить значения производных, нам сначала необходимо задать
функцию в аналитическом виде или дать ее приближенное аналитическое
представление, например, степенным многочленом.
Чтобы вычислить скорости изменения координат небесного тела (планеты,
астероида и т.п.), можно воспользоваться теорией движения этого тела и,
получив формулы для вычисления этих координат, определить необходимые нам
производные. Такой путь чрезвычайно трудоемкий и, кроме того, не всегда
реализуемый на практике. Гораздо проще ввести в рассмотрение функцию,
проходящую через узловые точки таблицы, затем ее дифференцировать. Короче
говоря, складывается та же ситуация, что и при интерполировании функций.
Допустим, что мы наблюдаем периодический процесс, который можно задать
синусоидой с известным периодом: [pic].
Здесь три неизвестных параметра - амплитуда, начальная фаза и средняя линия
синусоиды. Следовательно, нам необходимо иметь как минимум три значения
функции. Пусть это будут [pic] [pic] [pic] для [pic] [pic], [pic]. Из трех
уравнений с тремя неизвестными определяем [pic] [pic] и [pic] Значения
производной получим, дифференцируя y(x).
[pic]
[pic] [pic] [pic]
На практике чаще встречаются задачи, где аналитический вид функции не
задан. Тогда для аппроксимации функции пользуются степенным многочленом. В
нашем случае через три точки проводится парабола [pic]
Выберем [pic] так, чтобы, как и в случае интерполяции, многочлен проходил
через заданные точки [pic]. Получим [pic]
Дифференцируя, будем иметь [pic] [pic] [pic]
Видим, что значения производных, полученные путем численного
дифференцирования отличаются от точных. Погрешность дифференцирования в
данном случае связана прежде всего со слишком большим шагом для таблицы
значений y(x).
Рассмотрим теперь общий случай численного дифференцирования функции,
заданной n+m+1 значениями [pic] в моменты времени [pic]
Построим степенной многочлен Лагранжа
[pic] где [pic]
Производную по аргументу t в момент t=tk получим дифференцированием
полинома [pic]:
[pic]
Аналогично можно определить производную любого порядка не выше n+m, ибо
остальные будут равны нулю.
[pic]
Применение общей формулы для численного дифференцирования приводит к
громоздким выкладкам. Мы получим гораздо более компактные формулы, если шаг
задания таблицы значений y взять равномерным.
Пусть [pic] [pic] Тогда [pic] [pic] [pic], [pic] Вычислим [pic]:
[pic]
Преобразуем отношение [pic], заменив размерность "время" на безразмерное:
[pic] [pic].
Обозначив [pic] получим
[pic]
Поскольку [pic], будем иметь [pic]
Для производной порядка s будем иметь
[pic]
На практике исходные данные располагают либо симметрично относительно
"начального" момента t0 (тогда m=n), либо t0 расположен в начале таблицы
значений дифференцируемой функции (тогда m=0). Для этих случаев численное
дифференцирование реализуется по формулам
[pic] или [pic]
В качестве примера получим формулу для вычисления первой производной в
точке t= t0 (( =0) функции, заданной с постоянным шагом h в пяти точках: y-
2, y-1, y0, y1, y2. В этом случае имеем
[pic]
[pic]
где [pic] [pic]
[pic] [pic]
[pic]
Дифференцируя [pic]по ( разделив на h, при (=0 получим
[pic]
Следовательно, формула для дифференцирования имеет вид [pic]
Точно так же, получим формулу и для второй производной: [pic]
Заметим, что контролем правильности вывода формул является условие
(необходимое, но не достаточное) равенства нулю суммы коэффициентов:
1-8+8-1=0, -1+16-30+16-1=0.
Аппроксимация табличной функции полиномами Лагранжа - не единственный
путь построения формулы для численного дифференцирования. Можно также
воспользоваться любыми интерполяционными формулами. Покажем, как это
делается на примере формулы Стирлинга
[pic]
Вычислим первую и вторую производные для момента времен t=t0 (( =0)
[pic]
Но [pic] [pic]
[pic] ..........
Поэтому [pic] По аналогии получим [pic]
Центральные разности можно выразить через значения функции
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Подставив эти выражения в формулы для [pic] и [pic], получим
[pic] [pic]
формулы, полностью совпадающие с теми, которые мы получили с помощью
полинома Лагранжа.
3.4. Численное интегрирование
Вычислить определенный интеграл - это определить площадь, которую
ограничивает данная кривая с одной стороны, ось абсцисс с другой стороны и
граничные ординаты справа и слева. При численной обработке наблюдательных
данных мы не имеем кривой, а лишь отдельные значения функции y(x),
например, [pic]. Пусть a=x0, b=xn - пределы интегрирования.
3.4.1. Формула трапеций
Из всех формул численного интегрирования самая простая - формула
трапеций.
Соединим точки [pic] ломаной кривой. Рассмотрим трапецию,
ограниченную отрезком оси абсцисс (x0, x1), отрезком прямой, соединяющей
значения ординат y0 и y1, и ординатами этих точек - вертикальными линиями.
Обозначим площадь этой трапеции через [pic]. Очевидно, что [pic] где h1=x1-
x0. Площадь соседней трапеции [pic] равна [pic] где h2=x2-x1. Определенный
интеграл от a до b приближенно равен сумме площадей этих трапеций [pic]
Если точки [pic] на оси абсцисс распределены равномерно, т.е. [pic] то
[pic]
Мы получили формулу трапеций. Заметим, что она дает заниженный результат
при [pic] и завышенный при [pic] На каждом отрезке [pic]погрешность формулы
трапеций составляет
[pic]
3.4.2. Формула Симпсона
Разделим интервал интегрирования на отрезки,