Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kodomo.fbb.msu.ru/FBB/year_02/term_6/block_1/Symmetry.pdf Дата изменения: Fri Feb 25 13:38:52 2005 Дата индексирования: Fri Dec 21 21:42:58 2007 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: группу растяжений

ЧТО НУЖНО ЗНАТЬ ПРИ ИНТЕРПРЕТАЦИИ РЕНТГЕНОСТРУКТУРНЫХ РАСШИФРОВОК БИОЛОГИЧЕСКИХ МАКРОМОЛЕКУЛ

А.В.Алексеевский

Abstract
It is well-known...

Содержание
1. 2. Ведение Как отличить кристаллическую конфигурацию атомов от некристаллической? 3. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 4. 5. 6. Немного о движениях Как представлять себе движение плоскости Примеры движений плоскости Что такое ориентация плоскости и пространства Полный список движений Алгебраическая запись движения плоскости Определение кристаллической структуры Кристаллографические симметрии и кристаллографические группы 7. 8. 9. 10. 11. 12. Примитивная кристаллическая ячейка Ассиметрическая единица Некристаллографические симметрии Биологическая единица Банки биологических единиц Восстановление соседних ассиметрических единиц кристалла и биологических единиц с помощью SwissPDBViewer'а 13. Заключение 15 16 9 10 11 12 13 14 3 3 3 4 4 5 5 8 2

Благодарю моих студентов, воображая их ясные очи сочинялся данный опус.

1


2

Введение в кристаллографию макромолекул
1. Ведение

"Подпоручик с ненавистью посмотрел на беззаботное лицо бравого солдата

Швейка и зло спросил: - Вы меня знаете? - Знаю, господин лейтенант. Подпоручик Дуб вытаращил глаза и затопал ногами. - А я вам говорю, что вы меня еще не знаете! Швейк невозмутимо-спокойно, как бы рапортуя, еще раз повторил: - Я вас знаю, господин лейтенант. Вы, осмелюсь доложить, из нашего маршевого батальона. - Вы меня не знаете,- снова закричал подпоручик Дуб. Может быть, вы знали меня с хорошей стороны, но теперь узнаете меня и с плохой стороны. Я не такой добрый, как вам кажется. Я любого доведу до слез. Так знаете теперь, с кем имеете дело, или нет? - Знаю, господин лейтенант." Я.Гашек, "Похождения бравого солдата Швейка"

Расшифровки пространственных структур белков, нуклеиновых кислот, сложных макромолекулярных комплексов дают уникальную информацию о белках, их строении, механизмах реакций, роли отдельных аминокислотных остатков и т.п. и т.д. Эту информацию нужно уметь извлекать из пространственных структур, хранящихся в записях банка PDB. Посмотрим на структуру из PDB-записи 1RC2. Эта структура решена с помощью рентгеноструктурного анализа (РСА) кристалла, выращенного из белка аквапорин Z. Возникают следующие вопросы. 1) Почему в структуре две копии одного и того же белка, удаленные друг от друга на 80 анстрем??? (см. рис. 1a) Это что-то значит или нет? 2) Посмотрим на молекулу воды

H OH 1064

(см. рис.1b). Почему эта мо-

лекула, удаленная от белка на 6 ангстрем, и значит, не взаимодействующая с ним, присутствует в структуре? Ведь вокруг белка в структуре много пустого места (нет никаких атомов). Значит, другие молекулы воды, в материальном


Введение в кристаллографию макромолекул

3

кристалле окружавшие белок, в расшифрованной структуре отсутствуют. Получается, что

H OH 1064

- какая-то специальная молекула воды??

Для ответа на эти вопросы необходимо понимать, что такое кристалл, и уметь восстанавливать всю трехмерную информацию, приведенную в записи PDB.

2. Как отличить кристаллическую конфигурацию атомов от

некристаллической?
Нас интересуют "кристаллические конфигурации наборы атомов (объединенные в молекулы, даже макромолекулы) в пространстве, которые следует называть кристаллическими. Кристаллы содержат так много отдельных молекул, что вполне можно считать, что они бесконечны в пространстве во все стороны; так мы и будем считать. Реальные кристаллы белков содержат десятки тысяч белковых молекул по каждой координате, т.е. более

10

12

моле-

кул. Для сравнения, представьте размеры листа клетчатой бумаги со стороной

10000

клеточек - чем не бесконечный лист!

Вот пример кристаллической структуры на плоскости (Рис.2a). Чтобы восстанавливать части кристалла белка в компьютере по записи PDB, необходимо знать определение кристалла и основные понятия кристаллографии. Математическое описание кристаллов основано на понятии "движение пространства".

3. Немного о движениях Нас интересуют движения пространства. Тем не менее, все основные понятия можно объяснить на примере движений плоскости - так проще.

3.1. Как представлять себе движение плоскости. Движение плоскости надо понимать так. Представим себе, что на плоскости как-то расположены (нарисованы) атомы (см. рис.2a). Возьмем прозрачку (бесконечную во все стороны - это математика!), положим на плоскость, скопируем конфигурацию атомов, а потом прозрачку передвинем. Тогда для каждого атома можно указать куда он переместился, его образ при движении. Более того, для каждой точки плоскости можно указать ее образ в результате движения. Это и называется движением . Образ любой фигуры при движении - это равная ей фигура, но иначе расположенная.

1

1Определения.
жение

M

Преобразованием

называется

плоскости



называется взаимнооднозначное отобра-

плоскости

на себя, т.е. каждая точка

X

имеет образ

M ( x)

при преобразовании,

разные точки имеют разные образы, каждая точка Преобразование

M

ми, т.е. для любой пары точек

X1 , X

движением
2

Y

является образом какой-то точки.

, если оно сохраняет расстояние между точка-

расстояние между их образами

M (X1 ), M (X2 )

равно

расстоянию между ними самими.


4

Введение в кристаллографию макромолекул
Важно понимать, что данное движение (обозначим его буквой

M

) при-

меняется к любой точке плоскости так:

A,

образ

A

при движениии

M

обозначается

M (A).

3.2. Примеры движений плоскости.

ћ

Сдвиг, он же параллельный перенос, он же трансляция, на данный вектор

V

(см. рис. 2c).

Скользящий вектор - это направленный отрезок на плоскости, который можно приложить к любой точке. Трансляция на вектор в соотвествие произвольной точке к точке

V

ставит

A

конец вектора

V

, приложенного

A. B
на данный угол

ћ ћ

Вращение вокруг данной точки



в данном направ-

лении (по или против часовой стрелки)(Рис. 3a). Зеркальная симметрия относительно данной прямой

l

(Рис.3b).

Зеркальная симметрия меняет ориентацию плоскости. Это значит, что если вы нарисуете окружность и на ней стрелочкой покажете направление против часовой стрелки, а затем примените зеркальную симметрию, то на образе окружности стрелочка укажет направление по часовой стрелке. Представим себе движение как перемещение прозрачки. Тогда заркальную симметрию предется осуществить так. Снять прозрачку с плоскости, перевернуть ее и положить на плоскость. Вращение же и трансляцию можно реализовать двигая прозрачку по плоскости без отрыва. Движения плоскости делятся на те, которые сохраняют ее ориентацию, и те, которые меняют ориентацию.

Определение. Движения, которые сохраняют ориентацию плоскости (пространства), называются собственными.
Только собственные движения являются физически осуществимыми. Невозможно стать таким, как видишь себя в зеркале: левая рука справа, а правая - слева. Поэтому в кристаллографии и физике обычно рассматривают только собственне движения. Мы тоже ограничимся собственными движениями.

3.3. Что такое ориентация плоскости и пространства.

Ориентаций в данной точке плоскости называется выбор направления обхода вокруг нее. Ориентацией плоскости называется согласованный выбор ориентаций в каждой точке плоскости. Ориентации в точках A1 и A2 называется согласованным, если для любойнепрерывной кривой, соединяющей A1 с A2 ориентация в A2 совпадает с той, которая получается перенесением ориентации в A1 вдоль кривой в точку A2 .
Определение.
Перенос ориентации (направления обхода) вдоль кривой - интуитивно понятная вещь.Чтобы понять, зачем такая формалистика, выполните


Введение в кристаллографию макромолекул
Упражнение 3.1.

5

Можно ли определить ориентацию поверхности цилиндра? листа Мебиуса - полоски бумаги, концы которой склеены не в цилиндр, а "наоборот"?
У плоскости, очевидно, есть две различные ориентации, которые условно называют "против часовой стрелки"и "по часовой стрелке". Условность состоит в том, что "по"и "против"зависят от того, с какой стороны смотреть на плоскость. Ориентация в точке пространства определяется выбором направления вращения волчка в этой точке (Рис.4). Таких направлений два: (1) против часовой стрелки, если смотреть со стороны ручки; (2) по часовой стрелке.

Ориентацией пространства

называется согласованный выбор ориентаций во

всех точках. Согласованность ориентации в точках

A1

и

A2

, как и в случае

плоскости, - это согласованность вдоль любой непрерывной кривой, соединяющей эти точки.

3.4. Полный список движений. Ограничимся собственными движениями - движениями, не меняющими ориентацию плоскости (пространства). Примером движения пространства, меняющим ориентацию, служит зеркальная симметрия относительно плоскости. У многих молекул, например,у белков, наблюдается хиральность, т.е. молекула и зеркально симметричная ей молекула отличаются ("правые"и "левые"аминокислоты и т.п.). Таким образом, ограничение собственными движениями физически обосновано.

Каждое собственное движение плоскости является либо трансляцией, либо вращением.
Теорема 3.1 (Не слишком сложная, но и не очевидная).
В чем нетривиальность этого утверждения: вы можете взять прозрачку, сдвинуть ее, потом повращать, еще сдвинуть и т.п., т.е. поочереди применить много разных движений. И тем не менее, результирующее движение - от начального положения прозрачки до конечного, - всегда может быть получено либо как вращение вокруг какой-то точки, либо как трансляция на какой-то вектор.

Каждое собственное движение пространства является либо трансляцией, либо вращением вокруг оси, либо винтовым вращением вокруг оси.
Теорема 3.2 (Не слишком сложная, но и не очевидная).
Винтовое вращение вокруг оси последующим вращением вокруг

l - это той же

сдвиг на вектор, параллельный оси

l

с

l

.

4. Алгебраическая запись движения плоскости

Определение (А.Алексеевский, 2005 (если кто раньше не придумал)). Алгебра - это способ перевести математику на язык, понятный компьютерам.


6

Введение в кристаллографию макромолекул
На Рис.5 показано как закодировано движение в PDB-файле. Нетрудно

видеть, что движение пространства закодировано 12ю числами.Эти числа позволяют программе (например, SwissPDBviewer'у) из лежащего в PDB-файле белка получить с помощью движения соседнуюю в кристалле молекулу белка. Опять начнем с движений плоскости. Чтобы иметь возможность записывать движение алгебраическими средствами выберем декартову систему координат на плоскости. Тогда каждая точка

A

имеет координаты

(x0 , y0 ),

например,

A(2, 1)

или

B (0.1, 5).

Ясно, что

каждой точке соответствует вектор

A

с началом координат и концом в этой

точке и, наоборот, каждому вектору, приложенному к началу координат, отвечает точка плоскости. Трансляцию на вектор

V

можно записать так:

AA+V

.

Конечно, если быть точным, то нужно было бы сказать так: возьмем вектор

A,

соответствующий точке

A,

прибавим к нему вектор

V

(векторы уж

точно можно складывать!) и тогда точка - конец вектора зом

A+V

, - и будет обра-

A

при трансляции плоскости на вектор

V

. Конечно, про это все забывают

и говорят о точках как о векторах. Вращение С ЦЕНТРОМ В НАЧАЛЕ КООРДИНАТ можно записать в виде матрицы

ром

ab . cd Каждая матрица R определеяет отбражение плоскости точка A с координатами (x, y ) переходит в точку R= R(A) = ab cd x y x y

в себя, при кото-

В правой части равенства написано произведение матрицы и вектора. По определению произведения матриц (вектор - это тоже матрица размера

1 Ч 2),

имеем:

R(A) =
Пример.

ax + by cx + dy

R=

01 -1 0

Упражнение 4.1.

Какое движение плоскости задает матрица R?
R
определяет вращение плоскости вокруг начала ко-

Не любая матрица

ординат. Например, если

R=

00 00

, то, как легко убедиться, образом

любой точки будет точка - начало координа. Это даже не преобразование, а сполошное недоразумение: сжатие плоскости в одну точку (превращение все Вселенной в черную дыру :), что ли). Примеры преобразований, заданных матрицами в выбранной декартовой ситеме координат.


Введение в кристаллографию макромолекул

7

(1)

R= R=

1 0

0 1

Тавтологическое (единичное) движение: каждая точка оста-

ется на месте (2)

10 0 -1 20 01


Несобственное движение - отражение относительно оси

абсцисс (3)

R=

Преобразование, не являющееся движением: растяжение

вдвое вдоль оси абсцисс (4)

R= R=

(5)

2 2 2 2 2 - 22 2 3 1 2 2 3 1 -2 2

Вращение на 45 градусов вокруг начала координат.

Вращение на 30 градусов вокруг начала координат.

Чтобы охарактеризовать матрицы

R= a c

ab cd
,

, которые определяют

движение ( а не какое-либо другое преобразование плоскости), представим как набор из двух векторов-столбцов:

R

V1 =

V2 =

b d

.

Матрица R определяет движение плоскости тогда, и только тогда, когда (i) длины вектора V 1 и V 2 равны единице, что равносильно равенствам: (V 1 , V 1 ) = 1, V 2 , V 2 ) = 1, где скобки - это скалярные произведения (ii) скалярное произведение векторов (V 1 и V 2 ) равно нулю: (V 1 , V 2 ) = 0. Определитель матрицы R, задающей движение, равен +1 или -1; если определитель равен +1, то движение сохраняет ориентацию плоскости, если -1 - то меняет ориентацию на противоположную
Теорема 4.1 (простая).
Доказательство теоремы проистекает из того простого наблюденияя, что вектор

(V

1

является образом вектора

(1, 0),

а вектор

V 2)

- образом вектора

(0, 1).
В случае трехмерного пространства все аналогично: если, и только если, выполнены условия: (i)

(V i , V j ) = 0 (i = j

).

2

R задает движение, (V i , V i ) = 1 (i = 1, 2, 3); (ii)

Матрицы, удовлетворяющие условиям (i) и (ii), называются ортогональными; таким образом, ортогональные матрицы определяют движение, а не ортогональные - не определяют движения.

Теорема 4.2 (простая). Каждое движение плоскости (пространства) в выбранной декартовой системе координат можно записать так: A RA + V где A - точка, R - ортогональная матрица, а V - вектор.
Такая форма записи движений используется в PDB-файлах и программе SwissPDBViewer (Рис.5).

2Ясно

как написать условия и для многомерного пространства


8

Введение в кристаллографию макромолекул

Упражнение 4.2. На Рис.6 приведена копия фрагмента PDB файла, содержащая два движения. В одном из движений - вопиющая ошибка. Найдите ее и предположите как нужно ее исправить.
5.

Определение кристаллической структуры

Пусть у нас есть конфигурация атомов (мыслимая бесконечной, если речь о кристаллических конфигурациях) (Рис.7). Как и раньше, говорим о плоскости. Существуют движения плоскости, переводящие конфигурацию в себя. Это значит, что образ любого атома конфигурации в результате движения пространства совпадает с другим атомом конфигурации (конечно, при этом углерод должен переходить в углерод, а азот - в азот и т.п.). Мы условились представлять движения с помощью прозрачки. Значит, копируем конфигурацию на прозрачку а потом прозрачку передвигаем (не переворачивая) так, чтобы рисунок на ней совпал с исходным. На Рис.7 изображены такие движения: 1е - трансляция на вектор - трансляция на вектор

V

1

; 2е

V

2

.

Определение.

Собственные (не меняющие ориентацию) движения, переводящие конфигурацию атомов в себя, называются симметриями конфигурации.
Обратите внимание на то, что для бесконечных конфигураций, каковыми являются кристаллические конфигурации атомов, трансляции тоже могут быть симметриями. В быту под симметрией редко понимают сдвиг (трансляцию); правда, и бесконечные предметы в быту наблюдаются редко :) Одна симметрия существует у любой конфигурации - это движение, оставляющее все точки на месте; но это конечно математический выверт (который я оправдываю :)

Конфигурация атомов на плоскости называется кристаллической, если среди ее симметрий есть две трансляции на неколлинеарные 3 векторы. Конфигурация атомов в пространстве называется кристаллической, если среди ее симметрий есть три трансляции на некомпланарные 4 векторы.
Определение.
У кристаллической конфигурации на плоскости, кроме двух трансляций, всегда есть бесконечно много симметрий. Это трансляции на другие вектора. Например, сдвиги на вектора

V

1

и

V

2

можно применять последовательно

несколько раз. В результате, как нетрудно проверить, получится сдвиг на вектор

nV 1 + mV

2

, где

n

- сколько раз применялся сдвиг на

V

1

,

m

- сколько раз

3коллинеарные 4компланарные
от одной точки)

векторы - это параллельные векторы векторы - это векторы, лежащие в одной плоскости (если их отложить


Введение в кристаллографию макромолекул
применялся сдвиг на

9 5

V

2

. Для трансляций поряд применения не важен . Кроме

того, очевидно, трансляции на противоположные вектора тоже будут симметриями. Таким образом, можно считать, что положительные числа. Кроме трансляций, у некоторых кристаллических конфигураций на плоскости могут быть другие симметрии - вращения вокруг точек на определенные углы (Рис.7)

n

и

m

целые, но не обязательно

6.

Кристаллографические симметрии и кристаллографические группы

Множество всех симметрий кристаллической конфигурации атомов называется кристаллографической группой. В записях PDB пишут "Space group", это то же самое.
Определение.
По определению кристаллической конфигурации, кристаллографическая группа всегда содержит бесконечно много трансляций. Трансляции образуют т.н. подгруппу. Немножко о терминах. Очевидно, если

M

1

и

M

2

- две симметриии конфигурации, то последо-

вательное их применение даст новое движение, переводящее конфигурацию в себя, т.е. новую симметрию. Последовательное применение движений записывается как их произведение: буквой

M1 M
3

2

. Это новое движение обозначим одной

A в точку = M1 (M2 (A)) M2 переводит A в точку B = M2 (A), а затем M1 переводит B в точку C = M1 (B )). Кроме того, если M - симметрия конфигурации, то и обратное движение, 6 -1 обозначаемое M , - тоже симметрия Обозначим группу симметрий конфигурации одной буквой G. Множество G состоит не из точек, а из движений 7; один элемент M G - это одно
3
. Таким образом, переводит точку (более подробно: движение плоскости.

M

M

Подмножество S симметрий конфигурации называется подгруппой если для любых двух движений M1 , M2 S их произведение M1 M2 тоже принадлежит S и для каждого M S обратное движение M -1 тоже принадлежит S
Определение.
Так вот, ясно, что множество трансляционных симметрий кристаллической конфигурации атомов образует подгруппу кристаллографической группы.

5А для других 6Обратное к M

движений важен! движение определяется так. Любая точка . По определению,

A

есть образ некоторой точки

B

при движении

7Множество

M : A = M (B )

M

-1

переводит

B

в

A: M

-1

(B ) = A

чего? - спросила Алиса. - Просто множество. - ответила гусеница"Л. Кэрол,

"Алиса в стране чудес"


10

Введение в кристаллографию макромолекул
Важный факт природы состоит в том, что различных кристаллографи-

ческих групп пространства существует не так уж много, во всяком случае - конечное число

8

. Слову "различных"нужно придать точные смысл. На-

пример, если кристаллическую конфигурацию растянуть во все стороны в 2 раза (применить гомотетию, как, возможно, вас учили в школе), то вектора трансляционных симметрий растянутся в два раза, но очевидно, вся группа симметрий будет в определенном смысле той же самой.

7. Примитивная кристаллическая ячейка Симметрия в естествознании (математике, физике, химии, биологии и др.) - способ упростить описание объекта. Итак, у кристаллической конфигурации атомов есть подгруппа трансляционных симметрий.

Лемма 7.1. Каждая трансляционная симметрия V кристаллической конфигурации плоскости (пространства) выражается через две (соотв. три) трансляции на векторы V 1 , V 2 (соотв. V 1 , V 2 , V 3 ), а именно, V = nV 1 + mV 2 , где m и n - целые числа (соотв. V = nV 1 + mV 2 + lV 3 ).
Выбор трансляционных симметрий

V

1

,

V

2

,

V

3

, порождающих все другие

трансляционные симметрии, не однозначен - их можно выбрать по-разному.

Пусть в каждой вершине (бесконечной) клетчатой бумаги расопложен атом. Предъявите две существенно различные пары векторов, каждая из которых порождает все трансляционные симметрии этой кристаллической конфигурации. Различие должно заключаться вдлине и/или угле между векторами.
Упражнение 7.1.
Для данной кристаллографической симметрии стараются выбрать

рождающие

по-

трансляционные симметрии

V

1

,

V

2

,

V

3

так, чтобы углы между

векторами были прямыми а длины векторов - самыми коротким из возможных. Увы, это удается сделать не для любых кристаллических конфигураций. Используя трансляционные симметрии, можно всю кристаллическую конфигурацию атомов восстановить из примитивной кристаллографичекой ячейки - параллелограмма (на плоскости) или параллелипипеда (в пространстве), обладающего свойствами: (i) каждая точка плоскости (соотв. пространства) может быть перенесена трансляционными симметриями в основную ячейку; это же условие можно переформулировать так: образы основной ячейки при действии всех трансляционных симметрий кристаллической конфигурации покрывают всю плоскость (пространство); (ii) образы основной ячейки при трансляционных симметриях либо совпадают,

8Если

разрешить симметрии, меняющие ориентацию пространства, то их 230; если за-

претить - то меньше; не успел найти сколько именно, кажется около 60... ААл


Введение в кристаллографию макромолекул

11

либо не пересекаются, либо пересекаются только по стороне (грани в случае 3D) ячейки. Если

V

1

,

V

2

- два вектора, порождающие все трансляционные симметрии

кристаллической конфигурации, то в качестве примитивной ячейки можно выбрать параллелограмм, постороенный на векторах одной точке (см. рис.7) В кристаллографии иногда используют не примитивную ячейку, а большую. Так поступают в тех случаях, когда большая ячейка, составленная из нескольких примитивных, является прямоугольным параллелипипедом или, по крайней мер, углы между некоторыми ее сторонами прямые. Дело в том, что прямоунгольность ячейки упрощает некторые формулы. Такие ячейки называются не примитивными. Они удовлетворяют условию (i), но не удовлетворяют условию (ii) (см. выше).

V

1

,

V

2

, приложенных к

8.

Ассиметрическая единица

Кроме трансляционных симметрий, у некоторых кристаллических конфигураций бывают и другие симметрии. В соответсвии с теоремой, приведенной выше, любая такая симметрия - либо вращение вокруг оси на определенный угол, либо винтовое движение - трансляция с вращением. Факт, доказываемый в геометрии

9

, состоит в том что в кристаллографической группе

могут быть вращения и винтовые движения с вращением на углы, равные половине, трети, четверти или одной шестой от 360 градусов и кратные им - т.е. на две трети, три четверти, пять шестых от 360. Поэтому угол вращения для кристаллографических симметрий обозначают так: 2, 3, 4, 6; соответствующие оси вращения называют осями вторго, третьего, четвертого, шестого порядков

10

Вращательные и винтовые симметрии кристаллической конфигурации позволяют еще больше "ужать"информацию о кристалле - вся кристаллическая конфигурация может быть восстеновлена с помощью кристаллографической группы из т.н. ассиметрической единицы - ячейки пространства, меньшей чем примитивная ячейка.

Многогранник P в пространстве (многоугольник на плоскости) называется ассиметрической ячейкой для данной кристаллической конфигурации атомов если выполнены условия (i) каждая точка пространства (соотв. плоскости) может быть перенесена подходящей симметрией из кристаллографичекой группы в P ; это же
Определение.

9и, 10

следовательно, имеющий место в природе - если геометрия правильно описывает

пространство; а это так с достаточной точностью Осей пятого поряка в кристаллах не может быть, это теорема; поэтому обнаруже-

ние оси пятого порядка в регулярной структуре привело к открытию так называемых квазикристаллов в физике - регулярных, но не кристаллических конфигураций атомов в пространстве


12

Введение в кристаллографию макромолекул

условие можно переформулировать так: образы P при действии всех симметрий кристаллической конфигурации покрывают все пространство (соотв. плоскость); (ii) образы P при кристаллографических симметриях либо совпадают, либо не пересекаются, либо пересекаются только по грани (соотв. стороне, в случае 2D) P .
Таким образом, ассиметрическая единица по отношению к всей кристаллографической группе играет такую же роль, как примитивная ячейка - по отношению к подгруппе трансляционных симметрий. В отличие от примитивной ячеки, которая всегда параллелипипед, ассиметрическаяч ячейка может быть (и обычно бывает) не параллелипипедом, а более сложно устроенным многогранником. В записях PDB обычно приводят координаты атомов из

ричной ячейки

одной ассимет-

потому, что этой информации, в совокупности с информацией о

кристаллографической группе, также приведенной в записи, достаточно для восстановления, в принципе, всего кристалла. На практике для адекватной интерпретации многих записей PDB координат одних атомов из ассиметрической ячейки недостаточной - необходимо достраивать молекулы в соседних ассиметрических ячейках.

Для кристаллической структуры, изображенной на Рис.2 (i) найти все симметрии (отметить центры вращения и указать порядок оси, т.е. точки в данном случае) (ii) найти и нарисовать ассиметрическую ячейку
Упражнение 8.1.
9. Некристаллографические симметрии Отдельная белковая молекула, а особенно комплекс из многих белковых цепей - капсид вируса, какой-нибудь гомотетрамер и т.п., - может обладать собственной симметрией - движением, переводящим данную молекулу и комплекс молекул в себя. Пусть у нас кристалл, составленный из симметричных молекул. Тогда возможны две ситуации. (1) Симметрия молекулы продолжается до симметрии всей кристаллической конфигурации атомов. Таким образом, это кристаллографическая симметрия, она входит в кристаллографическую группу, о таких симмериях шла речь выше. (2) Симметрия молекулы не продолжается до симметрии всей кристаллической конфигурации атомов. Такая симметрия называется некристаллографической. Примером могут служить рентгеноструктурные расшифровки структур капсидов вирусов, имеющих форму додекаэдра - правильного 12-гранника. У додекаэдра имеется ось симметрии пятого порядка; из написанного выше следует, что такая симметрия не может быть кристаллографической. Наличие некристаллографической симметрии содержимого ассиметрической единицы позволяет еще больше ужать информацию, а именно, написать координаты не всех атомов из ассиметрической единицы, а только части, из которой можно восстановить ассиметрическую единицу и весь кристалл в два


Введение в кристаллографию макромолекул

13

шага: с помощью (1) некристаллографических симметрий (2) кристаллографичеких симметрий. Хорошо это или плохо, но иногда именно так описывают структуру в записях PDB, приводя, естественно, в аннотации движения, которые являются некристаллографическими симметриями. Часто так поступают именно с рашифровками белков капсидов вирусов - для экономии места и облегчения анализа отдельного белка капсида.

10.

Биологическая единица

То, что говорилось выше, позволяет адекватно описать кристалл с точки зрения кристаллографии, но иногда предлагаемые кристаллографами описания в записях PDB явно неудобны с точки зрения молекулярной биологии. 1. Из теории не следует, что всегда можно выбрать ассиметрическую ячейку, содержащую целиком внутри одну молекулу белка (многомолекулярный комплекс), составляющего (-щий) кристалл

11.

Может случиться так, что

в ассиметричекой ячейке содержится первая половина от одной копии молекулы и вторая половина - от другой копии, хотя, по правде говоря, мне не приходят на ум примеры из PDB... 2. Бывает так, что соседние в кристалле молекулы белка имеют различающиеся конформации. Особенно часто такие различия в конформации наблюдаются у белков, у которых есть онносительно подвижные части. И при этом пара белков с различными конформациями далее в пространстве повторяется образуя кристаллографическую конфигурацию. В таком случае в одну ассиметрическую единицу кристалла попадают две химически одинаковые молекулы белка (иногда - не две, а больше). В таком случае биологический смысл имеет каждая отдельная молекула белка из структуры; их сравнение тоже имеет смысл - например, для выявления подвижных частей молекулы. Поэтому биологически оправданным является разделение структуры на две, так называемые,

биологические единицы

.

3. Часто наблюдается ситуация, противоположная предыдущей: в кристалле лежат гомодимеры биологических макромолекул (иногда - тетрамеры и др.). Эти димеры симметричны, и более того, симметрия является кристаллографической. Таким образом, в ассиметрической единице остается одна молекула гомодимера, и картина, получаемая из записи PDB, не отражает билогической ситуации. Например, бывает, что исследуемый белок

in vivo

всегда

существует и функционирует только в виде гомодимера. Особенно шокирующими на первый взгляд получаются структуры гомодимера белка, связанного с полиндромной ДНК, представленные в записи PDB мономером на одноцепочечной ДНК...

11

См. пример с кристаллом из "огурцов"в лекциях Лунина


14

Введение в кристаллографию макромолекул
В описанной ситуации содержательная

биологическая единица

получает-

ся добавлением к содержимому ассиметрической единицы ее копии из подходящей соседней ассиметрической единицы, т.е. применением подходящей кристаллографической симметрии. Четвертое, пятое и т.п. Для получения биологических единиц из содержимого одной ассиметрической ячейки иногда приходится применять и процедуру разделения (как в 2.), и процедуру объединения (как в 3.) одновременно. Во многих записях PDB (но не во всех) в аннотации описана процедура восстановления одной или нескольких биологических единиц по информации, приведенной в записи.

11. Банки биологических единиц Наряду с PDB, основной единицей хранения в котором является обычно запись, представляющая содержимое ассиметрической единицы кристалла, есть банки, хранящие восстановленные биологические единицы. Таким образом, часто именно к ним следует обращаться для получения адекватной структурной информации. Это такие банки. (i) PDB с некоторых пор кроме основных записей предлагает также биологические единицы. (ii) Банк PQS (Protein Quaternary Structure) (iii) Банк NDB (Nucleic acids Data Bank) - структуры нуклеиновых кислот и их комплексов с белками (iv) Банк капсидов вирусов Неообходимо иметь ввиду следующие обстоятельства. Биологическая единица - понятие из молекулярной биологии, а не из кристаллографии. Таким образом, знание биохимии и молекулярной биологии есть главный источник для восстановления и интерпретации биологической единицы. Таким знанием может не обладать специалист по рентгеноструному анализу, представляющий результат в PDB. И уж наверняка такого знания лишен "компьютер", пытающийся восстановить биологическую единицу автоматически. В банках PDB, PQS, NDB биологические единицы восстанавливаются автоматическими программами со всеми вытекающими последствиями (см. предыдущий абзац). Иногда, наоборот, контакты белка с другими копиями его же в соседних ассиметрических ячейках позволяют высказать или подтвердить предположения о возможности димеризации (полимеризации) исследуемых белков, способности к белок-белковым взаимодействиями; позволяют локализовать взаимодействующие поверхности. Действительно, можно предполагать, что в кристалле молекулы белка ориентируются так, чтобы взаимодействовать друг с другом наиболее выгодным способом, и если взаимодействие этих белков функционально значимо

in vivo,

то скорее всего, оно и воспроизведется в


Введение в кристаллографию макромолекул

15

кристалле. Приведенное объяснение, конечно, не более, чем разумное предположение и требует независимых проверок. В кристалле соседние белковые молекулы могут не взаимодействовать непосредственно друг с другом, только через буфер, остающийся, как правило, не расшифрованным в эксперименте по РСА. Контакты белка с молекулами из соседних ассиметрических единиц могут приводить к артефактам. Так, ввопрос про молекулу воды, "повисшую в воздухе", заданный во введении, решается просто: данная молекула связана водородными связями (? проверить!!!) с молекулой белка из соседней ассиметрической ячейки; такие молекулы часто находятся в одинаковом положении относительно всех белков кристалла и потому могут быть расшифрованы с помощью рентгеноструктурного анализа. В записях PDB встречается множество разных на первый взгляд, странных ситуаций, которые правильно интерпретируются при анализе контактов с молекулами из соседних ассиметрических ячеек.

12.

Восстановление соседних ассиметрических единиц кристалла и биологических единиц с помощью SwissPDBViewer'а
В записи PDB приводится следующая информация.

ћ

Размер и форма элементарной ячейки - длины трех векторов - ребер параллелипипеда и углы между ними; элементарная ячейка может не быть примитивной.

ћ

Название кристаллографичекой группы в соответствии с номенклатурой; как всегда, бывают синонимы, что может затруднить идентификацию группы для некристаллографа.

ћ

Порождающие кристаллографические симметрии. Они задаются двумя способами: (1) в недекартовых кристаллографическихкоординатах

12

(2) в обычных декартовых координатах - с помощью матрицы и

вектора. Каждая кристаллографическая симметрия может быть получена последовательным применением этих порождающих симметрий и трансляций на три вектора - ребра элементарной ячейки.

ћ ћ

Некристаллографические симметрии в декартовых координатах (если они имеются) Инструкция по восстановлению биологических единиц в виде короткого текста и движений, заданных в декартовых координатах (Например, "применить движение 1 к цепи A, движение 2 - к цепи B ...)

Программа SwissPDBviewer умеет:

ћ

Применить каждое из порождающих движений или все вместе и таким образом получить содержимое соседних ассиметрических единиц. Следует подчеркнуть, что таким способом не обязательно находятся

12

В этих координатах концы трех ребер элементарной ячейки, выходящих из начала

координат, имеют координаты, соответственно,

(1, 0, 0), (0, 1, 0)

и

(0, 0, 1)


16

Введение в кристаллографию макромолекул
все соседи - для получения всех, возможно потребуется применить также трансляции.

ћ ћ

Применить любую из трех трансляций или их комбинацию. Применить любое движение, заданное в декартовых координаитах матрицей и вектором

13

. Такие действия необходимы, например, при вос-

становлении биологических единиц, т.к. обычно SwissPDBviewer не в состоянии распознать автоматически и применить инструкцию по восстановлению из записи PDB . 13. Заключение Что успел, то записал. Буду благодарен за любую критику и предложения (что непонятно или плохо объяснено, чего не хватает). Надеюсь, они помогут мне (если когданибудь будет свободное время :-(... ) дописать и поправить эти странички для будущих поколений студентов ФББ.

13

Программа не контролирует ортогональность введенной матрицы