Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2011/04/S.Varlamov.pdf Дата изменения: Thu Jan 10 13:56:10 2013 Дата индексирования: Sun Feb 3 06:48:25 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: arp 220

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ

'Исправленный' закон Кулона
С.ВАРЛАМОВ
присутствует оговорка: размеры заряженных тел должны быть значительно меньше расстояния между телами, чтобы тела можно было считать точечными. А как изменится вид зависимости силы взаимодействия двух заряженных тел, если учесть их неточечность, т.е. принять во внимание их объемность? Рассмотрим взаимодействие двух проводящих тел с объемами V1 и V2 , на которых имеются электрические заряды Q и q соответственно и расстояние r между которыми гораздо больше чем V11 3 и V21 3 . Так как расстояние r большое, можно считать, что каждое из тел с отличным от нуля объемом находится в поле, созданном другим заряженным телом, расположенным достаточно далеко. Иными словами, в первом приближении внешнее поле для каждого объемного тела можно рассматривать как поле, созданное находящимся далеко точечным зарядом. В соответствии с принципом суперпозиции, сначала можно найти силы взаимодействия в случаях, когда одно тело заряжено, а другое нет, а затем добавить силу кулоновского взаимодействия заряженных точек в случае, когда заряды этих тел не равны нулю. В результате получится хорошее приближение к истине. Ожидаемая зависимость должна представляться в виде суммы (суперпозиции) нескольких слагаемых: kqQ + F (r, Q, V2 ) + F2 (r, q, V1 ) + ... F (r, Q, q, V1, V2 ) = 1 r2 Здесь многоточием обозначены слагаемые, величины которых значительно меньше, чем величины тех слагаемых, которые выписаны символами. Первое слагаемое это закон Кулона для двух точечных зарядов, остальные слагаемые 'поправки' к этому закону; k коэффициент, учитывающий выбранную систему единиц. Поскольку тела проводящие, заряды на их поверхностях будут располагаться так, что напряженность электрического поля внутри этих тел будет равна нулю. При этом распределения зарядов на поверхностях тоже подчиняются принципу суперпозиции. Чтобы найти выражение для F (r, Q, V2 ) , второе незаряженное тело мысленно разрежем 1 на множество пластинок, плоскости которых перпендикулярны линии, соединяющей центры двух тел, вычислим силу, действующую только на одну уединенную пластинку, а затем снова мысленно соберем все пластинки вместе и сложим результаты действия точечного заряда Q на все множество пластинок. Одна незаряженная пластинка толщиной d и площадью S (см. рисунок) приобрела дипольный момент P = qd , направленный вдоль линии, соединяющей точечный заряд (первое тело) со вторым телом, и равный по величине QS E Sd P= d= 1 . 4k 4r 2 Видно, что этот дипольный момент пропорционален объему пластинки Sd. Суммарный дипольный момент всех пласти-

нок, на которые мы мысленно разрезали второе тело, равен QV2 EV P2 = = 1 2. 2 4k 4r kQ В поле первого точечного заряда с напряженностью E1 = 2 r

К

АК ИЗВЕСТНО, В ФОРМУЛИРОВКЕ ЗАКОНА КУЛОНА

этот дипольный момент имеет потенциальную энергию
V2 kQ . 4k r 2 Соответствующая сила притяжения равна W1 V2kQ2 = F =- . 1 r r 5 Аналогичное выражение получим для силы, которую испытывает первое тело из-за того, что на нем перераспределяются заряды и это связано с наличием внешнего поля, созданного вторым телом: Vkq2 F2 = 1 5 . r Если считать, что дипольный момент на одном теле создает в месте расположения другого тела электрическое поле, в котором находится дипольный момент другого тела, то возникает дополнительная энергия взаимодействия: 2kP P2 2kQqV1V2 1 W21 = = r3 (4 )2 r 7 и соответствующая этой дополнительной энергии сила отталкивания: W21 14kQqV V2 1 F21 = - = . r (4 )2 r 8 W1 = - P2 E1 = -
2

Понятно, что эта дополнительная сила уже пренебрежимо мала, так как зависит от расстояния как 1 r 8 . Итак, получаем kQq kQ2V2 kq2V1 7kQqV1V2 - + +... F (r, Q, q, V , V2 ) = 2 - 1 r r 5 r 5 8 2 r 8 Какого порядка малости слагаемые мы обозначили здесь многоточием? Учтем, что каждое тело находится в поле, которое создано неточечным зарядом, и что заряды на телах перераспределяются. Созданный на втором теле дипольный момент P2 создает в месте расположения первого тела электрическое поле напряженностью 2kP 2kQV2 E21 = 3 2 . r 4r 5 Это поле, с учетом объемности первого тела, создаст в этом первом теле дипольный момент, который по величине пропорционален полю: V 2kQV2 P21 = 1 . 4k 4r 5 Возникнет дополнительная потенциальная энергия: V kQ2V V22 2 1 W21 доп = - P21E21 = - 1 E21 = - 4k 163r10


ФИЗИЧЕСКИЙ

ФАКУЛЬТАТИВ

и дополнительная сила взаимодействия (притяжения):
F21
доп

=-

W21 r

доп

=

5kQ 8 r

2

V1V22 3 11

.

И, аналогично, для обратного влияния:
F 12
доп

=

5kq2V2V12 . 83r 11

Таким образом, слагаемые обозначенные многоточием, зависят от расстояния как 1 r11 . Ими, естественно, можно пренебречь. Если в формуле для силы взаимодействия двух неточечных проводящих заряженных тел последнее слагаемое, пропорциональное 1 r 8 , ввиду его малости не учитывать, то получается 'уточненный' закон Кулона при условии, что расстояние r между телами гораздо больше чем V11 3 и V21 3 : kQq kQ2V2 kq2V 1 - F (r, Q, q, V , V2 ) 2 - . 1 r 5 r 5 r

Пусть заряды тел имеют одинаковые знаки. Зафиксируем все параметры за исключением только одного заряда Q. Тогда получается, что зависимость силы взаимодействия от величины этого заряда выглядит весьма необычно: при малых величинах заряда Q сила взаимодействия соответствует притяжению тел, при больших Q тела тоже притягиваются, и только в некотором диапазоне значений Q тела отталкиваются. В частности, если на телах заряды одинаковые, т.е. Q = q, то тела обязательно отталкиваются. В заключение задача для самостоятельного решения. Задача. Два одинаковых проводящих шара находятся в вакууме на некотором расстоянии друг от друга. На них имеются электрические заряды Q и q (Q > q), и сила электростатического взаимодействия шаров равна нулю. Какой дополнительный заряд q можно поместить на шар с меньшим начальным зарядом, чтобы и в этом случае сила взаимодействия шаров была равна нулю? Q2 - q .) (Ответ: q = q