Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/03/51.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:27 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:31:52 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: столовая гора

ОЛИМПИАДЫ

#
L B N X Y

25. На диагоналях AC и BD вписанного четырехугольника ABCD выбраны точки M и N соответственно так, что BN/DN = AM/CM и BAD = BMC . Докажите, что ANB = ADC . (10) Ф.Бахарев 26. В стране не менее 100000 городов, из каждого города выходит ровно 2001 дорога. Верно ли, что всегда можно закрыть часть дорог (не менее одной, но не все) таким образом, чтобы после этого из всех городов выходило поровну дорог (дорога соA единяет два города, любые два города соединены не более чем одной X Y дорогой)? (10) Д.Карпов, М.Островский 27. I центр вписанной окружности треугольника ABC (рис.5). ОкружB C ность, проходящая через I, касается сторон AB и Рис. 5 AC в точках X и Y соответственно. Докажите, что отрезок XY касается вписанной в треугольник ABC окружности. (11) С.Берлов
I

так, что XBYD параллелограмм (рис.7). Точки M и N середины диагоналей AC и BD, прямые AC и XY пересекаются в точке L. Докажите, что точки M, N, L и D лежат на одной окружности. (10) С.Берлов, Д.Джукич, Д.Карпов, А.Пастор

C

M D

A 32. Можно ли в прямоуРис. 7 гольнике 17 Ч 101 расставить числа от 1 до 1717 так, чтобы в каждой фигурке вида , целиком помещающейся в прямоугольнике, сумма чисел делилась на 17 или на 101? (9) К.Кохась

33. Многоугольник F, никакие три вершины которого не лежат на одной прямой, можно разбить непересекающимися диагоналями на треугольники не менее чем двумя способами. Докажите, что некоторые четыре вершины F образуют выпуклый четырехугольник, целиком лежащий в F. (9) Ю.Лифшиц 34. Даны 64 вершины. Двое играют в следующую игру: каждым ходом первый игрок соединяет ребром две еще не соединенные вершины, а второй произвольным образом ориентирует это ребро (т.е. ставит стрелочку, задавая на этом ребре направление движения). Второй игрок выигрывает, если после 1959 ходов от любой вершины до любой другой можно будет дойти, двигаясь вдоль стрелок. Кто выигрывает при правильной игре? (10) А.Пастор 35. Берег озера имеет вид выпуклого центрально-симметричного стоугольника A1 A2 K A100 с центром симметрии O. Внутри озера расположен остров BB2 K B100 такой, что Bi 1 середина отрезка OAi для всех i от 1 до 100. На острове находится тюрьма с высоким забором по краям. В противоположных точках берега находятся два охранника. Докажите, что они видят весь берег озера. (10) Ф.Петров 36. Вписанная в треугольник ABC окружность касается сторон BC, CA и AB в точках A , B и C соответственно (рис.8). Через точку A проведена прямая l, перпендикулярная отрезку AA . A Она пересекается с пря мой BC в точке X. ДоC' B' кажите, что прямая BC делит отрезок AX попоC лам. (11) B A' l Ф.Бахарев X 37. На доске написано натуральное число. Дима с Сашей играют в следующую игру. Дима своим ходом называет некоторое натуральное число x, а Саша меняет число, записанное на доске, либо прибавляя к нему x, либо вычитая из него x (по своему выбору). Дима стремится к тому, чтобы на доске появилось число, равное какой-нибудь степени заданного натурального числа k (годится и k0 = 1). При каких значениях k Дима сможет добиться этого независимо от исходного числа, записанного на доске? (11) М.Антипов Публикацию подготовили К.Кохась, А.Спивак
Рис. 8

28. В зоопарке есть двое двухчашечных весов для взвешивания животных. Слон и верблюд весят целое число килограммов, и сумма их масс не превосходит 2 тонн. В зоопарк доставили набор гирь, весящих целое число килограммов, сумма масс которых равна 2 тоннам. Выяснилось, что если на одну из чашек первых весов поставить слона, а на одну из чашек вторых верблюда, то какими бы ни были веса животных, можно распределить некоторые из гирь по всем 4 чашкам так, чтобы те и другие весы пришли в равновесие. Какое наименьшее число гирь могли привезти в зоопарк? (11) А.Храбров

Отборочный тур на Всероссийскую олимпиаду
29. Длина боковой стороны AB трапеции ABCD равна сумме длин оснований AD и BC. Докажите, что биссектрисы углов A и B пересекаются на стороне CD. (9) Ф.Бахарев 30. При каком наибольшем любые вещественные числа 0 = a1 a2 K a11 = 1 можно разбить на две группы, средние арифметические в которых отличаются не меньше чем на ? (9) М.Лифшиц, Ю.Лифшиц, Ф.Петров 31. а) Пусть O центр описанной окружности остроугольного неравнобедренного треугольника ABC, точка C1 симметрична C относительно O, D середина стороны AB, K центр описанной окружноC сти треугольника ODC1 (рис.6). Докажите, что точка O делит пополам отрезок прямой OK, лежащий внутO ри угла ACB. (9) K Р.Станоевич B D A б) На сторонах AB и BC вписанного четырехугольC ника ABCD отмечены точРис. 6 ки X и Y соответственно