Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/01/51.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:17 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:30:40 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: мезйтпчбойе

О Т В Е О ТЫ Е Т В,
Конкурс 'Математика 68'
(см. 'Квант' ?4 за 2002 г.)

ТЫ,

УК З АН Я У К А А ЗА Н ИИ ,Я Р ,

ЕШЕНИЯ

РЕШЕНИЯ

51

1. Покажем, что важное множество может состоять не менее чем из 24 клеток. Любой составленный из клеток доски прямоугольник размером 1 ? 8 , 1 ? 9 или 1 ? 10 должен содержать не менее 2 клеток важного множества. Соответственно, в двух соседних верхних горизонталях доски должно быть не менее 4 клеток важного множества. Если мысленно убрать эти горизонтали, то из оставшейся части доски 8 ? 1 0 можно образовать 8 прямоугольников размера 1 ? 8 , каждый из которых должен включать не менее 2 клеток важного множества. Таким образом, всего в важном множестве должно быть не менее 4 + 2 ? 1 0 = 24 клетки. Пример важного множества, состоящего из 24 клеток, показан на рисунке 1. 2. Покажем, как за три взвешивания определить, равен ли общий вес двух фальшивых монет весу двух настоящих. Разделим монеты на 4 кучки по 6 монет. Первым взвешиванием сравним вес Рис. 1 первой и второй кучек; вторым взвешиванием вес третьей и четвертой кучек. Рассмотрим возможные результаты взвешиваний. 1) Весы оба раза оказались в равновесии. В этом случае две фальшивые монеты могут быть только в одной кучке, причем их суммарный вес равен весу двух настоящих монет. 2) Весы оказались в равновесии только один раз. Обозначим результаты взвешиваний так: А = В, С < D (A, B, C, D какие-то кучки). Тогда в А и В находятся настоящие монеты, в С и D фальшивые. Третьим взвешиванием на одну чашу весов помещаем кучки А + В, а на другую C + D. Общий вес двух фальшивых монет будет равен весу двух настоящих только в том случае, если весы при третьем взвешивании окажутся в равновесии. 3) Весы ни разу не оказались в равновесии. Обозначим результаты взвешиваний так: A < B, C < D. Если легкая фальшивая монета находится в кучке А, то более тяжелая в кучке D, если же легкая фальшивая монета находится в кучке С, то более тяжелая в кучке В. Как бы то ни было, две фальшивые монеты одновременно находятся либо в A + D, либо в В + С. Третьим взвешиванием сравниваем A + D с B + + C. Общий вес двух фальшивых монет будет равен весу двух настоящих только в том случае, если весы при третьем взвешивании окажутся в P равновесии. 3. Треугольник АВМ отM C B разим симметрично относительно гипотенузы АМ, а треугольник ADN отF носительно гипотенузы Q AN. Пусть при этом точка В перейдет в точку N B? , а точка D в точку D? . Поскольку РB?AM + РD? AN = 45o , A D то точки B? и D? окажутся на одном луче с вершиной в точке А. Так Рис. 2

как AB = AB? = AD? = AD , то точки B? и D? совпадают друг с другом представляют одну и ту же точку. Введем для нее обозначение F (рис.2). Так как РAFN = РAFM = = 90 o, то три точки М, F и N лежат на одной прямой. Итак, AMN представляет собой объединение треугольников AMF и ANF . При этом РBMA = РAMN , РDAQ = = РFA Q = 45o - РFAM = 45o - РBAM . Отсюда

РAPQ =

Иц 1ж И AD+ DQч = 45o + РDAQ = 2з и ш

o o = 45 + 45 - РBA M = 90o - РBA M = РBMA = РAMN .

(

)

Поскольку РAPQ = РAMN , то PQ P MN . 4. Возьмем произвольное число М. Ясно, что М его самый большой делитель. Все остальные делители, очевидно, не превосходят
M , поэтому общее количество делителей числа 2

M + 1. Отсюда следуют неравенства 2 A +1 A AB A A3 +1 и B? ? + 1, поэтому ?2 +1 = + ,и 2 2 2 2 2 42 A A ? 6 . Кроме того, из условия следует, что целое чис2 ло, поэтому А четное число. Четных чисел, не превышающих 6, всего три: 2, 4 и 6. Проверим каждое отдельно: 1) Пусть А = 2. Это число имеет 2 делителя, поэтому В = 2. Но у числа В тоже 2 делителя, а вовсе не А/2 = 1. Не подходит. 2) Пусть А = 4. Это число имеет 3 делителя, поэтому В = 3. У числа 3 имеется 2 делителя, что как раз равно А/2. Это подходит. 3) Пусть А = 6. Это число имеет 4 делителя, поэтому В = 4. У числа 4 имеется 3 делителя, что как раз равно А/2. Это тоже подходит. Итак, получается, что есть две возможности: А = 4, В = 3, а также А = 6, В = 4. В первом случае сумма А + 2В равна 10, во втором случае она равна 14. Но и у 10, и у 14 количество делителей одинаково и равно 4. 5. Расчертим квадрат на единичные клетки, как показано на рисунке 3. Каждый вырезанный круг полностью содержится в некотором квадрате 2 ? 2. Назовем такой квадрат регионом. Докажем, что если из квадрата вырезать область, предМ не превышает

4 линия 3 линия 2 линия 1 линия
Рис. 3 Рис. 4

ставляющую собой объединение пяти регионов, то из оставшейся части всегда можно вырезать два прямоугольника размером 1 ? 2 . Регион однозначно определяется положением его центра. Центр каждого региона находится на одной из четырех линий сетки (рис.4). Поскольку регионов пять, а линий, на которых лежат их центры, четыре, то либо 1-я и 2-я линии, либо 3-я и 4-я линии содержат не более двух центров регионов. Без ущерба для общности будем считать, что 1-я и 2-я линии со-