Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/01/59.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:17 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:30:44 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: релятивистское движение

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

59

y 3 A1 1

Все множество M, состоящее из четырех кругов, изображено на рисунке 20. Равенство системы, которое можно переписать в виде
2

x2 + (y - 1) = a 2 , является уравнением окружности с центром в точке A = (0; 1) и радиусом, рав3 1 ным a . Расстояние r1 от точки A до Рис. 20 точек ближнего к ней круга (например, находящегося в первой четверти), принимает значения 32 + 22 - 1 = 1 3 - 1 r1 32 + 22 + 1 = 13 + 1 , а расстояние r2 от точки A до точек дальнего круга (например, с центром в (3; 3 ) ) изменяется в пределах

3

O

3x

В случае, если число пиратов равно трем, старший пират предлагает дележ, дающий 9 слитков ему и 1 слиток младшему (младший, понимая, что если он поддержит среднего пирата, то в итоге не получит ничего, вынужден с этим предложением согласиться). Тем самым, итог дележа (9, 0, 1). В случае, если число пиратов равно четырем, старший пират рассуждает так: 'Если мое предложение будет отвергнуто, то три оставшихся пирата разделят золотые слитки по правилу (9, 0, 1); следовательно, я должен предложить такой дележ, который был бы выгоднее хотя бы одному из них, а мне давал бы наибольшую возможную долю'. Единственное решение этой задачи дележ (9, 0, 1, 0), в котором старший пират жертвует лишь одним слитком (в пользу пирата, третьего по старшинству). Рассуждая подобным образом в случае пяти пиратов, в итоге получаем ответ: (8, 0, 1, 0, 1).

ФИЗИКА Физический факультет
1. По условию задачи при движении точки А нити катушка катится без проскальзывания, сохраняя ориентацию своей оси. Следовательно, считая, как это обычно и делается в подобных задачах, катушку твердым телом, ее движение можно представить как сумму поступательного движения со скоростью u и вращения с некоторой угловой скоростью вокруг оси катушки. Катушка катится без проскальзывания, поэтому геометрическое место точек касания катушкой плоскости (считаем, конечно, плоскость абсолютно твердой) является мгновенной осью вращения, а величина угловой скорости вращения катушки равна =uR. Участок нити между точкой В ее касания средней части катушки и точкой А (рис.22) можно считать прямолинейным и утверждать, что сила натя жения нити в момент начала v движения катушки должна A образовывать с горизонтом O тот же угол, что и касательu ная к нити в точке А. По u скольку иное специально не B r оговорено в условии задачи, будем считать указанный от- Рис. 22 резок нити целиком расположенным в вертикальной плоскости, перпендикулярной оси катушки. Тогда, как это видно из рисунка, момент силы натяжения нити должен заставить катушку вращаться по часовой стрелке. Следовательно, учитывая нерастяжимость нити, можно утверждать, что v = u cos - r . Отсюда находим искомую скорость движения оси катушки: 2v v = u= . cos - 1 n 3 -1 2. Будем решать задачу при следующих стандартных предположениях: действием воздуха на тела системы можно пренебречь, а лабораторную систему отсчета, относительно которой оси колес неподвижны, можно считать инерциальной. Поскольку нить является шероховатой, при движении груза она не скользит по ободам колес. Из условия задачи следует, что в течение интересующего нас промежутка времени груз после отпускания движется поступательно вертикально вниз. Поэтому, учитывая, что ободы тонкие, нить нерастяжимая и тонкая, можно утверждать, что величины линейных скоростей точек ободов колес, груза и точек нити в указанные моменты времени должны быть одинаковыми.

32 + 42 - 1 = 4 r2 32 + 42 + 1 = 6 .
У системы решения существуют тогда и только тогда, когда окружность имеет непустое пересечение с множеством M. Таким образом, поскольку 13 - 1 < 4 < 13 + 1 < 6 , то необходимым и достаточным условием разрешимости системы является требование 13 - 1 a 6 .

Вариант 17
3. -; - 1 7 U [-4; -3 ) U (-3; 3 ) U 1 7; 5 . 4. 9. 5. 5 ч и 7 ч 30 мин. 6. 4; 4; 6. Указание. Если ( x0 ; y0 ) решение системы, то ( x0; - y0 ) тоже решение. Необходимым условием для нечетности числа решений является существование решения, для которого y0 = -y0 , т.е. y0 = 0 . Осталось подставить y = 0 в систему и выяснить, при каких a количество решений равно трем. Возможные значения a находим из системы (3 x - 3 ) ( x - 9 ) = 0, 2 ( x - a ) = 25 . Это: 4, 4, 6, 14. Теперь перепишем исходную систему:
(3 x + y - 3 ) ( x + 3 y - 9 ) = 0, 2 2 ( x - a ) + y = 25, x 0. Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют первому уравнению, это четырехугольник ABCD, показанный на рисунке 21. Второе уравнение окружности с центром в точке (a; 0) и радиусом 5.

1. 9 км/ч.

(

)

2. 5/2.

(

a=4

y 3

a=4 B A 1 D 4 6

a=6

a=14

4 1 3
Рис. 21

C 9

14

x

7. (8, 0, 1, 0, 1). Описание процедуры дележа начнем со случая, когда число участвующих в нем равно двум. В этом случае старший пират забирает все золото половина (он сам) поддерживает его предложение. Таким образом, итог дележа (10, 0).