Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/01/41.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:16 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:30:34 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: горизонт

ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

41

Гладкая наклонная плоскость клина составляет с горизонтом угол . Определите величину ускорения клина a1 . Под каким углом к горизонту движется шайба? Найдите силу давления F шайбы на клин. Ускорение свободного падения равно g. Обсудим два способа решения этой задачи. Первый способ Внешние силы, действующие на систему клин шайба, направлены только по вертикали (рис.4). Следовательно, импульс системы в горизонтальном направлении сохраняется:
y mg x Mv1x + mv2 x = 0 .

Горизонтальная составляющая силы давления F шайбы на клин (см. рис.4) сообщает клину ускорение a1x . По второму закону Ньютона,

Ma1x = F sin .
Отсюда находим силу давления: Mm cos F= g. M + m sin2 Второй способ Для определения ускорения клина рассмотрим движение каждого из тел. Силы, приложенные к телам, указаны на рисунке 4. Запишем второй закон Ньютона для клина: H H HH Ma1 = Mg + F + R и для шайбы:
H H H ma2 = mg + N .

Отсюда дифференцированием по времени получаем
Ma1x + ma2 x = 0 . H Скорость шайбы v2 в ЛСО, скорость шайбы H u относительно клина H и скорость клина v1 в ЛСО связаны законом сложения скоростей (рис.5): H H H v2 = v1 + u ,

Переходя к H проекциям сил и ускорений на оси ЛСО с учетом H равенства F = - N , получаем
Ma1x = N sin , ma2 x = - N sin , ma2 y = mg - N cos . H H Скорость v2 шайбы в ЛСО, скорость u шайбы относительно H клина и скорость v1 клина в ЛСО связаны законом сложения скоростей: H H H v2 = v1 + u .

Mg
Рис. 4

y u v
Рис. 5

x

так что
v2 x = v1x - u cos ,

v2 y = -u sin .

Подставляя выражение для v2 x в выражение закона сохранения импульса, находим m+M u = v1x . m cos С учетом этого соотношения получаем m+M v2 y = -v1x tg , m m+M a2 y = -a1x tg . m Далее обратимся к энергетическим соображениям. Поскольку силы трения отсутствуют, полная механическая энергия системы клин шайба сохраняется: 2 2 2 Mv1x mv2 x mv2 y + mgy + + = m gh , 2 2 2 где буквой h обозначена у-координата шайбы при t = 0. Дифференцируя это равенство по времени, получаем
Mv1xa1x + mgv2 y + mv2 x a2 x + mv2 ya2 y = 0 .

Дифференцируя это равенство по времени, находим связь соответствующих ускорений: H H H a2 = a1 + w . Из треугольника ускорений (см. треугольник скоростей на рисунке 5) следует a2 y tg = a2 x - a1x . Подставляя в последнее равенство выражения для проекций ускорения шайбы a2 x и a2 y , после несложных преобразований получаем
a1x = 1 m sin 2 g. 2 M + m sin 2

m

Подстановка в это соотношение полученных выше выражений для v2 x , v2 y , a2 x , a2 y приводит (после сокращения на v1x ) к ответу на вопрос об ускорении клина:
1 m sin 2 g. 2 M + m sin 2 Для определения угла заметим, что в ЛСО шайба движется равноускоренно с нулевой начальной скоростью, так что ее перемещение за любой Hпромежуток времени сонаправлено с вектором ускорения a2 , тогда a1x =

Задача 4. На гладкой горизонтальной плосM кости лежит клин с углом при вершине . На гладкой наклонной Рис. 6 плоскости клина лежит брусок, связанный с клином пружиной жесткостью k (рис.6). Масса клина М, масса бруска m. Найдите период Т малых колебаний системы. Предлагаем два способа решения задачи. Первый способ Внешние силы, действующие на систему клин брусок, направлены только по вертикали (рис.7). Следовательно, импульс системы в горизонтальном направлении сохраняется:
Mv1 + mv2 x = 0 .

= arctg

a2 a2

y x

жm + M ц = arctg з tg ч . иM ш

Интегрируя это равенство по времени, получаем
Mx1 + mx2 = 0 .