Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/04/63.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:34 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:32:34 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: флуоресценция

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ
2d

63

на. В каждой деревне упорядочим борцов по убыванию силы и выберем десятого по силе борца. Покажем, что деревня, в которой живет слабейший из выбранных борцов, не может быть сильнее следующей за ней. Обозначим выбранных борцов в нашей и следующей деревнях через А и В соответственно. Тогда в нашей деревне 11 борцов не сильнее, чем А, а в следующей 10 борцов хотя бы такой же силы, как В. Все поединки между этими борцами закончатся в пользу второй деревни, и этих поединков 110, т.е. поединков, в которых выиграл борец нашей деревни, не больше 20 Ч 20 - 110 = 290. Приведем пример, показывающий, что при k ? 290 описанная ситуация возможна. Пусть среди борцов есть 210 новичков и 190 мастеров (любой новичок слабее любого мастера). Пронумеруем деревни против часовой стрелки. Поместим в первую деревню одного слабейшего новичка и 19 слабейших мастеров; во вторую двух новичков, слабейших из оставшихся, и 18 мастеров, слабейших из оставшихся; в третью трех слабейших из оставшихся новичков и 17 мастеров, слабейших из оставшихся; ...; в последнюю деревню поместим 20 сильнейших новичков. Покажем, что i-я деревня сильнее (i 1)-й при i > 1. Действительно, мастера i-й деревни победят всех в (i 1)-й, а новички победят новичков, и всего побед будет 20(20 i) + +i(i 1) = i2 - 21i + 4 00 . Вершина этой параболы находится в точке i = 10,5, а ветви направлены вверх, поэтому минимальное значение в целой точке достигается при i = 10, 11 и равно 290, т.е. каждая i-я деревня сильнее (i 1)-й при k ? 290 . Кроме того, мастера первой деревни победят новичков 20-й, и здесь побед будет 20 Ч 19 = 38 0 > 290 . 17. 2 и 3 (например, выполнены равенства 22 - 1 = 2 + 1 ,

гичное неравенство справедливо для каждого из a - 1 . k Поскольку любое число вида a j + 1 делится лишь на первую степень двойки, то их количество в представлении числа А не меньше N. Но каждое из них делится на одно из чисел ai : k если kj = 2r s , где s нечетно, то a j + 1 делится на ar . Поскольку N > N0 + K + Nq , то на какое-то число ai делится

k больше, чем Ni чисел a j + 1 , а следовательно, А делится на большую степень ai , чем Ni . Противоречие с тем, что ai нечетны и попарно взаимно просты.

Избранные задачи Московской физической олимпиады
Первый теоретический тур 8 класс
1. На рисунке 12 изображены графики зависимости пройденного пути от времени для автобуса (ломаная линия) и для велосипедиста (две прямые линии). Скорость велосипедиста должна быть такой, чтобы на отметке '10 км' он находился в

s,км 11 9 7 5 3 1 A
Рис. 12

Б

3 - 1 = 3 + 1 ). Предположим, что при некотором a > 3 условие задачи выполнено:
A= a



2

3

9

15

21

27 30

t,мин



m1

-1 K a



mn

-1 = a



k1

+ 1 K akl + 1 .





Докажем сначала, что как любое mi , так и число а 1 являются степенями двойки. Пусть нечетный делитель числа mi , а р любой простой делитель числа a - 1 . Тогда в правом произведении найдется множитель a р. Поэтому число
ж зa и
kj

период времени от 28 мин до 30 мин. Таким образом, скорость велосипедиста должна лежать в интервале от
v1 = 10 км 30 мин = 20 км ч

+ 1 , делящийся на

до
v2 = 10 км 28 мин ' 21, 4 км ч .


k
j



ц + 1ч - ж a ши



kj

- 1ц = 2 ш


2. L =

делится на р, т.е. все простые делители числа a - 1 двойки и a n > 1. скобке a -1 =


M a - в =5м. a S в - д cвV t1 - t2 = 37 г cв t1 - t2 ' 1063 г

- 1 = a -1 + K + a + 1 a - 1 = 2 n . Поскольку a > 3, то При этом нечетно, поэтому выражение в первой нечетный делитель числа 2n . Значит, = 1 и 2n . В частности, а 1 делится на 4 (ибо а 1 > 2),





3. В сосуде будут находиться лед и вода массой
mл = m -

и
mв = вV +

поэтому a k + 1 имеет остаток 2 при делении на 4. Каждая скобка в левой части исходного равенства представляется в виде

a

2d

- 1 = a - 1 a + 1 a2 + 1 a4 + 1 K a
a
2m 2
s









2d

-1

+1 =
= 2n Ч 2d Ч a0 K ad
-1



,

при температуре t = 0 њС, при этом высота уровня воды в сосуде будет V m = 11 см . H= 2+ в a 2 a

где ai = число a

?a

взаимно просты. Пусть q максимальная степень двойки, входящая в mi или kj . Тогда А представляется в виде
N A = 2 N a0 0 K aq q , причем N > N0 + K + Nq , так как аналоN



2m

+1 - a



+1 нечетные числа. Заметим, что при m > n 2 n - 1 делится на a2 + 1 , поэтому НОД am, an ?
2m

9 класс
1. Минимальное расстояние между кораблями было в полдень и составляло

- 1 = 2 ; поскольку ai нечетны, они попарно



L = 100 2 мили ' 141, 4 мили .
2. Сразу после опускания льда перетечет m1 = вV 4 = 25 г воды, а в процессе таяния льда дополнительно перетечет
m2 = лV 2 - вV 4 = 20 г воды.