Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/04/41.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:32 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:32:23 2012 Кодировка: Windows-1251

ФИЗИЧЕСКИЙ

ФАКУЛЬТАТИВ

41
v

то

sin v1 = sin v2 , что и требовалось доказать. Далее, стационарность решения означает действительно минимум: d 2t 1 = - 2 dx 2 v1 x 2 + h1

A C
C?





v1 x +

(

x
2

2 2 32 h1

)

+

1 v2

(

d-x

)

2

+

2 h2

- v2

(

( (

d-x

)2
+
2 h2

d-x

)

2

)

32

=

K

O v

L

1 1 1 1 2 2 = vl - vl sin + v l - v l sin = 11 11 22 22

=

1 1 cos2 + cos 2 . vl v2l2 11

F

d 2t Так как все слагаемые положительные, то > 0 , и это dx 2 соответствует минимуму. Пример 5. Пусть точка В действительное изображение ( B F ) точки А при преломлении пучка света на выпуклой сферической поверхности KCL (рис.10). Докажем, что время распространения света между фиксированными точками А и В по двум путям АСВ и A ACB одинаково. Предполагаетv ся, что углы и малые. Обозначим (рис.11) CAC = C
C?

Рис. 12

B

A C

C

В однородной среде свет распространяется по прямой линии, поэтому любая возможная траектория должна быть составлена из отрезков прямых. Построим наряду с реальной траекторией АСFВ возможную окольную траекторию ACB (рис.13). Обе траектории выходят из одной и той же точки А и кончаются в одной и той же точке В. Докажем, что время распространения света вдоль истинной траектории будет больше, т.е. что
t
ACB

>t

AC B

.

K

O

v

L K O B L

B = F

Проведем малую дугу с центром в точке F и радиусом FВ, она пересечет прямую АОF в точке B . Проведем большую дугу с центром в точке C и радиусом CB , она пересечет прямую CB на ее продолжении в точке D, а точка В окажется выше. Поскольку F действительное изображение, то
t
ACF

Рис. 10

Рис. 11

=t

AC F

.

= , CBC = , AC = s , AC tAC B = v1 и AC CB AC 1 tACB = + = + v1 v2 cos v1

CB = s . Тогда CB s s + = + v2 v1 v2

A C
C?

CB 1 = cos v2 s s s 2 s 2 + = = 1 + + 1 + , v1 2 v2 2 v1 1 - 2 2 v2 1 - 2 2



(

)

(

)

если учесть параксиальность пучка лучей, т.е. малость углов , , и . А если пренебречь членами второго порядка малости по сравнению с членами первого порядка, то получим s s tACB = + = tAC B , v1 v2 что и требовалось доказать. Пример 6. Докажем, что время распространения света через выпуклую сферическую поверхность раздела двух сред KCL (рис.12) из точки А в точку В, находящуюся за действительным изображением F точки А, максимально на такой траектории АСВ, для которой выполняется закон sin v1 = = const . преломления sin v2

O

F

B
Рис. 13

B?

D?

D