Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/03/39.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:53 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:52 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 2

'КВАНТ'

УЛЫБАЕТСЯ

39

сумму S . Разберем для примера случай m = 2. Так как

m n


k =1

n

k

b2g

=
2

b

n +1 3
n

g

b3g

, или
n

kb
k =1

n

k -1 =

gb

n +1 n n -1 3

gb

g

Упражнение 7. Найдите Q3 и убедитесь в верности равенства

, то

b2k - 1g
k =1

n

3

= n 2n - 1 .

2

e

2

j

Sn =

2


k =1

n

k=


k =1

k

b2g

=

k = nbn + 1gbn - 1g nb +
+
k =1

3

n +1 n n + 1 2n + 1 = . 2 6

gb

gb

g

m Этот прием позволяет найти суммы Sn при любом показателе m, зная формулы для соответствующих сумм с меньшими показателями. 3 4 5 6 Упражнение 6. Вычислите таким способом Sn , Sn , Sn , Sn . Одним из первых способ суммирования, использующий m формулу (2), применил к вычислению Sn французский математик Б.Паскаль. Он даже рассмотрел суммы более общего вида, когда основания степеней образуют произвольную арифметическую прогрессию. Пример 4. Вычислим, вслед за Паскалем, сумму

Qm = a + a + d

m

b

g

m

+K+ a + n - 1 d

cb

gh

m

.

Воспользуемся биномом Ньютона формулой возведения двучлена в m-ю степень:

m k где Cm = енты. Тогда

g bm - 1gK bm - k + 1g
a+b
m

b

m

=

Cm a

k

m -k k

b,

k=0

Решим, используя обобщенную степень, несколько интересных геометрических задач. В частности, найдем число одинаковых шаров, из которых сложены правильные пирамиды. Но прежде чем обращаться к пирамидам, рассмотрим правильные многоугольники, выложенные на плоскости из шаров. Начнем с треугольника. Возьмем один шар, к нему приложим еще два так, чтобы образовался треугольник, каждая сторона которого содержит два шара. Затем к э тим шарам приложим еще три, так чтобы снова Рис. 3 получился треугольник (рис.3), но уже со стороной в три шара. Далее можно выложить треугольник с четырьмя шарами в каждой стороне и т.д. Выпишем последовательность чисел, выражающих количества шаров, составляющих полученные правильные треугольники: 1, 3, 6, 10, ... Эти числа называют треугольными. Аналогично из шаров строят квадраты, пятиугольники и другие правильные многоугольники, растущие из какой-либо одной своей вершины (рис.4, 5). Количества используемых при этом шаров представляют собой соответственно квадратные числа 1, 4, 9, 16, ..., пятиугольные числа 1, 5, 12, 22, ...

k!

биномиальные коэффици2 m -1 m +1 a

b

a+d

g

m +1

-a

m +1

=C

1 m m +1 a

d+C

d +K+ d

2

m +1

,

b

a + 2d

g

m +1

- a+d

b
b

a + nd
= Cm
1

+1

g d + C ba + d g g - ca + bn - 1gdh = ca + bn - 1gdh d + C ca + bn - 1gdh
=C
1 m +1

b

g b

m +1

=
m 2 m +1 m -1

a+d

d +K+ d

2

m +1

,

m +1

m +1

m

2 m +1

m -1

d +K+ d

2

m +1

.

Складывая левые и правые части равенств, получим
a + nd

g

m +1

-a

m +1

=C

1 Q m +1 m

d+ +C
3 m +1Qm - 2

+C

2 2 m +1Qm -1d

d + K + nd

3

m +1

. (7)

Применим формулу (7) для вычисления некоторых k Qm (учитывая равенство Cm +1 = 0 при k > m + 1). Знаn нам хорошо известны. 2 3 Найдем Q2 . Положим в (7) m = 2: a + nd - a 3 = 3Q2 d + + 2Q1d + Q0 d . Откуда Q2 = n a + a n - 1 d +
2 3

чения Q0 = n и Q1 =

2a + n - 1 d

b

g

b

g

F GH

2

b

g

d

2

6

e

2n - n + 1 .

2

I jJK

В частности,

b2k - 1g
k =1

n

2

=n

4n - 1 3

2

,

b
k =1

n

3k - 2

g

2

=n

6 n - 3n - 1 2

2

.

и т.д. Рис. 4 Идея выкладывания шаров на плоскости в виде правильных многоугольников восходит к школе Пифагора. Пифагорейцами было подмечено, что n-е треугольное число представляет собой сумму первых n натуральных чисел, n-е квадратное сумму первых n нечетных чисел, n-е пятиугольное сумму n членов прогрессии 1, 4, 7, 10, ... 3n - 2 , ... Это Рис. 5 позволило им дать общее определение q-угольного числа с номером n как суммы n членов арифметической прогрессии с первым членом 1 и разностью q 2.

b

g