Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/03/03.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:51 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:10:05 2012 Кодировка: Windows-1251

Уравнения Пелля
В.СЕНДЕРОВ, А.СПИВАК
Всякое уравнение, имеющее несколько переменных, подлежит исследованию теории чисел. Но не все они одинаково доступны исследованию и не все имеют одинаковую важность по приложениям своим. Теория чисел до сих пор ограничивается только рассмотрением уравнений, наиболее простых и в то же время имеющих наиболее важные приложения. П.Л.Чебышев

3

Н

ли оно решение в целых числах, получится задача. Скорее всего, если уравнение взято 'просто так', эта задача будет очень трудной (или вообще не поддастся решению), а главное, не будет никому интересна. Но есть уравнения, знакомство с которыми неизбежно и в высшей степени полезно для всякого, кто интересуется математикой. Именно таковы уравнения Пелля:

АПИШЕМ УРАВНЕНИЕ И СПРОСИМ, ИМЕЕТ

Несколько примеров
Уравнение x 2 2y 2 = +1

Рассмотрим уравнение

x 2 - 2y 2 = +1 .
Не удивляйтесь тому, что в правой части не 1, а +1 . Поверьте, что так легче догадаться до закономерности, о которой вскоре пойдет речь. Подбором найдем несколько решений: (x; y) = (1; 0), (1; 1) или (3; 2). Продолжая вычисления, составим таблицу:

x 2 - dy 2 = 1 ,
где d натуральное число, не являющееся точным квадратом.
Почему 'не являющееся точным квадратом'? Потому что левую часть уравнения
x 2 - a 2y 2 = 1 ,

x y x2 2y
2

1 0 1

1 1 1

3 2 1

7 5 1

17 12 1

41 29 1

99 70 1

239 169 1

где a натуральное число, можно разложить на множители:

(

x - ay ) ( x + ay ) = 1 .

Число 1 можно представить в виде произведения двух целых чисел двумя способами: 1 1 и -1 ( -1) . В первом случае x ay = 1 и x + ay = 1, откуда x = 1 и y = 0. Во втором случае x ay = 1 и x + ay = 1, откуда x = 1 и y = 0. Итак, уравнение x 2 - dy 2 = 1 , где d = a2 , решить очень легко. Ничего особенно интересного в нем нет мы всего лишь разложили на множители разность квадратов. Действительно поразительные эффекты обнаружатся, когда d не будет точным квадратом.

Если присмотреться, то можно заметить, что каждый следующий столбец получается из предыдущего по простому правилу: 'новое' значение y есть сумма 'старых' x и y, а 'новое' значение x есть сумма 'старого' и 'нового' значений y. Точнее,

X = x + 2y, Y = x + y.
Конечно, таблицы с несколькими первыми решениями недостаточно для того, чтобы быть уверенным в справедливости этих формул для всего множества решений уравнения; мы должны доказать следующие утверждения. 2 2 Теорема 1. Если x - 2y = +1 , то пара чисел X;Y = x + 2y; x + y удовлетворяет равенству
X 2 - 2Y 2 = m 1 . Следствие. Уравнение x 2 - 2y 2 = +1 имеет бесконечно много решений в натуральных числах. Теорема 2. Уравнение x 2 - 2y 2 = +1 не имеет решений в целых неотрицательных числах, кроме тех, что получаются из 'тривиального' решения 1; 0 при помощи правила x; y R x + 2y; x + y . Доказать теорему 1 очень легко: достаточно подста-

Иллюстрация В.Хлебниковой

Уравнениями Пелля можно заниматься по-разному. Что-то может понять даже семиклассник. Интересны эти уравнения и для студента мехмата МГУ например, очень важная для математики 10-я проблема Гильберта, поставленная в августе 1900-го года в докладе на Международном математическом конгрессе в Париже, была решена в 1970 году Ю. Матиясевичем при помощи уравнений типа уравнений Пелля. В этой статье будет рассказано как о самых простых свойствах решений уравнений Пелля, так и о весьма серьезных и трудных теоремах и задачах, связанных с этими замечательными уравнениями.

1*