Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/03/05.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:51 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:10:06 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 2

УРАВНЕНИЯ

ПЕЛЛЯ

5

называют нормой числа a + b 2 . Очень многое из того, что мы расскажем об уравнениях Пелля, можно перенести на случай так называемого норменного уравнения в полях алгебраических чисел. Но мы слишком увлеклись. Порекомендовав заинтересованному читателю когда-нибудь изучить 'Теорию чисел' З.И.Боревича и И.Р.Шафаревича, вернемся к нашим делам. Упражнение 3. Пусть a, b целые числа, d натуральное 1 число, не являющееся квадратом, x + y d = . Доa +b d кажите, что числа x и y целые в том и только том случае, когда a 2 - db 2 = +1 .

где a, b и d натуральные числа, a b и число d не является точным квадратом. 8. Докажите следующие утверждения. 30 щ й а) (М352) Число к 45 + 1975 ъ нечетно. л ы б) Первые 1000 цифр после запятой десятичной записи 1979 числа 6 + 35 девятки. в) Первые 999 цифр после запятой десятичной записи

(

)

( (

)

числа 6 + 37
n R?

г) lim 2 + 3

{(

)

999

нули.

)

n

}

= 1.

Сложив равенства

1
и

+2



n

= xn + yn 2

д) Перед запятой в десятичной записи числа 2 + 3 стоит цифра 1, а после запятой не менее 666 девяток. Указание. Для любого целого неотрицательного n обозначьте an =

(

)

2000

(

3+ 2

)

2n

+

(

3- 2

)

2n

и докажите равенство

1

-2



n

= xn - y

n

2

и поделив на 2, находим

. 2 А если не сложить, а вычесть, то получим

xn =

1

+2

+ 1 - 1
22
n

n

-2



n

yn =

1

+2

-2



n

= 10an +1 - an . (Пункт б) предлагали в соответствующем году самым сильным абитуриентам мехмата МГУ на устном экзамене. Пункт в) предлагали в 1965 году на конкурсе ВМШ при мехмате МГУ. Пункт г) предлагали на студенческой олимпиаде 1977 года.) 9* (М520) . Рассмотрим последовательность чисел n xn = 1 + 2 + 3 . Каждое из них можно привести к a
n +2

(

)

.

Это и есть не рекуррентные (когда каждую следующую пару получаем из предыдущей), а явные формулы решений уравнения x 2 - 2y 2 = +1 в натуральных числах. Заметьте: натуральные xn и yn получаются из формул, в которые входит иррациональное число 2 ! Не каждому читателю, по себе знаем, легко привыкнуть пользоваться иррациональными числами для решения уравнений в целых числах. Поэтому мы вернемся к таким рассмотрениям чуть позже, а пока продолжим рассмотрение примеров.
Упражнения
2 4. а) Докажите равенства x2n = 2xn - (- 1) и y2 n = 2 xn yn . б) Если d натуральное число, не являющееся квадратом, а z и t натуральные числа, удовлетворяющие равенству z2 - dt 2 = 1 , то натуральные числа an и bn , определенные n

виду xn = qn + rn 2 + sn 3 + tn 6 , где qn , rn , sn , tn целые r s t числа. Найдите пределы lim n , lim n и lim n . n qn n qn n qn Уравнение x 2 + (x +1)2 = y
2

Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 обладает тем свойством, что один из его катетов на 1 длиннее другого. Много ли еще таких треугольников, точнее, много ли решений в натуральных числах имеет 2 уравнение x 2 + x + 1 = y 2 ? Чтобы ответить на этот вопрос, раскроем скобки и приведем подобные:
2x 2 + 2x + 1 = y 2 .

Теперь, домножив обе части на 2, выделим полный квадрат: 2 2x + 1 + 1 = 2y2 . Обозначив z = 2x + 1, получим уравнение

формулой an + bn d = z + t d
2 n

что a2 n = 2a - 1 и b2n = 2anbn . Докажите это. 5. а) Для любого натурального n число 1 + 2

(

)

n

, обладают тем свойством,

z2 - 2y 2 = -1 .
Любое удовлетворяющее последнему уравнению число z нечетно. Поэтому мы свели задачу к уравнению z2 - 2y 2 = -1 , где y, z натуральные числа, причем z > 1. Как мы помним, если z2 - 2y 2 = -1 , то

вимо в виде k + k + 1 , где k натуральное число. Докажите это. б) (М1522) Для любых натуральных m, d, n существует такое натуральное k, что
n

(

)

n

предста-

= k + k + d . Докажите это. в) Пусть m и n натуральные числа, n > 1. Докажите, что для некоторого натуральноm n + n2 - 4 k + k2 - 4 го числа k имеем = . 2 2 6. Существуют ли такие рациональные числа a, b, c, d, что

(

m + m+d

)

n

=

z + 2y - 2 z + y = 1 .
В правой части теперь находится 1, а не 1. Мы умеем переходить от 1 к 1: для любого решения (a; b) уравнения a 2 - 2b2 = 1 выполнено равенство
2 2 a + 2b - 2 a + b = -1 .

2

2

(a
а)

+b 2

) + (c )
m

2

+d 2

)

2

=7+5 2 ?

7(М874). Пусть m и n натуральные числа. Докажите, что

(5

+3 2

? (3 + 5 2

)

n

; б*)

(a

+b d

)

m

? (b + a d

)

n

,

Следовательно, из любой пары натуральных чисел (z; y), удовлетворяющей равенству z2 - 2y 2 = -1 , мы

2 Квант ? 3