Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/03/kv0302shibasov.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:51 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:36:48 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: твердое состояние

'КВАНТ' УЛЫБАЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ Т С Я КРУЖОК

37

Как найти сумму?
Л.ШИБАСОВ
двух или трех чисел все ясно. Но часто нужно бывает найти сумму очень большого или вообще произвольного числа слагаемых, образующих некоторую последовательность. Эта задача уже не столь проста, и она привлекала внимание людей с глубокой древности, о чем сохранились легенды и письменные свидетельства. В египетском папирусе, которому почти 4 тысячи лет, содержится записанная писцом Ахмесом задача-шутка: имеется 7 домов, в каждом доме 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышь съедает 7 колосьев ячменя, из каждого колоса вырастает 7 мер ячменя. Найти сумму всех предметов. Решая задачу, Ахмес находит сумму пяти членов геометрической прогрессии. О гораздо большем числе слагаемых, тоже образующих геометрическую прогрессию, идет речь в древней легенде об изобретении шахмат. Индийский царь Шерам, восхищенный этой игрой, решил отблагодарить ее изобретателя Сету и предложил тому любую награду. Сета попросил за первую клетку шахматной доски выдать ему одно пшеничное зерно, за вторую два, за третью 4, за четвертую 8 и т.д. Царь приказал немедленно исполнить эту 'смехотворную' просьбу. Каково же было его удивление, когда он узнал, что царедворцы не могут выполнить приказ своего повелителя. Ведь число зерен, причитавшихся изобретателю, так велико, что не только в царских кладовых, но и на всей Земле не нашлось бы такого количества зерна. В более поздний период стали находить суммы слагаемых, устроенных посложнее. В XIV веке индийский математик Нарайана решил такую задачу: найти число коров и телок, появившихся от одной коровы за 20 лет, при условии, что корова в начале каждого года приносит телку, а телка дает такое же потомство в начале года, достигнув трех лет. Как он это сделал, мы узнаем позже. Надо сказать, что вычисление сумм с древних времен носило не только занимательный характер. Оно служило и практическим целям. Еще задолго до нашей эры Архимед, применяя суммирование, нашел площадь параболического сегмента и объемы некоторых тел вращения. Этим же методом находили площади и объемы вплоть до XVII века, когда были созданы интегральное и дифференциальное исчисления, позволившие свести задачи вычисления мер к нахождению первообразной и применению формулы НьютонаЛейбница. Но и сейчас вычисление сумм используется для решения различных задач интегрального исчисления. Это не единственная область математики, где нужны суммы. Широко применяются они в теории рядов, в различного рода приближенных вычислениях и, конечно, в теории чисел. Теперь, когда, надеемся, читатели убедились в древности и важности проблемы суммирования, обратимся к конкретным задачам такого рода. Начнем с простой геометрической задачи. Пример 1. На плоскости расположены две касающиеся друг друга внешним образом окружности единичного радиу-

К

АК НАЙТИ СУММУ? ЕСЛИ РЕЧЬ ИДЕТ О СЛОЖЕНИИ

са. К ним проведена внешняя касательная. В фигуру, заключенную между окружностями и касательной, вписывается круг, затем в образовавшуюся фигуру между данными окружностями и первым кругом вписывается второй круг и т.д. (рис.1). Спрашивается, какова суммарная длина диаметров вписанных кругов, полученных на n-м шаге.

H
Рис. 1

Упражнение 1. Покажите, что диаметр k-го вписанного 1 круга равен . k k +1 Итак, чтобы ответить на вопрос задачи, нужно найти сумму 1 1 1 + +K+ S= . 12 2 3 n n +1 Для ее вычисления обратимся к р авенству 1 1 1 =- . Применяя его к каждому слагаемому k k +1 k k +1 суммы, получаем ответ:

b

g

b

g

b

g

. 2 23 Вообще говоря, найти компактную формулу, выражающую сумму n слагаемых (или, как говорят в математике, 'записать результат в конечном виде'), удается очень редко. В школе выводят две формулы такого типа: для арифметической прогрессии 2a + n - 1 d n Sn = a + a + d + a + 2 d + K + a + n - 1 d = 2 и для геометрической прогрессии
S = 1- - 3 4 n n +1 n +1

FG H

1

IJ + FG KH

1

1

IJ + FG KH

1

-

1

IJ K

+K+

FG H

1

-

1

IJ K

=1-

1

b

gb

g

cb

gh

b

g

Sn = b + bq + bq + K + bq

2

n -1

=b

q -1 q -1

n

.

Мы рассмотрим примеры вычисления более сложных сумм. При этом мы будем считать слагаемые значениями некоторой функции f x в точках х = 1, 2, ..., n, а возникающую сумму f 1 + f 2 + K + f n записывать в виде

f bk g
k =1

n

bg bg b g
n

(читается: 'сумма чисел f k по k от 1 до n'). В этих

bg

bg

обозначениях результат примера 1 будет выглядеть так:
S=

kb
k =1

1

k +1

g

=

n n +1

.

Решение оказалось очень простым за счет того, что по


38

КВАНT 2002/?3

1 функции f x = мы сумели найти другую функцию x x +1 1 F x = - , так что выполняется равенство x f k = F k + 1 - F k = F k . (1)

bg

bg b

g

= x x - 1 2 x - 1 6 , а для функции f x = x 3 (т.е. при m =

Поэтому

bg b
n k =1

g bg

bg

= 3) имеем F Отсюда находим
Sn =
2

b

gb
n

g bxg = x b
2

x -1

g

2

4.

bg
n

f bk g = F b bg

n +1 - F 1 .

g bg


k =1

k=

2

n n + 1 2n + 1 6

b

gb

g

, Sn =

3


k =1

k=

3

n n +1 4

2

b

g

2

.

(2)

Не правда ли, (1) напоминает формулу дифференцирования функции F x , а (2) интегрирования функции f x , знакомые читателям из школьного курса математического анализа? Но если в математическом анализе приращение аргумента устремляют к нулю, то здесь оно равно единице и все время остается постоянным. Поэтому мы не можем воспользоваться известными из анализа правилами вычисления первообразной, пример 1 это наглядно подтверждает. Поиск по функции f x ее 'первообразной' F x здесь уже нелегкая проблема, в каждом конкретном примере она решается индивидуально, и не всегда успешно. Тем интереснее случаи, когда удается найти решение. Пример 2. Обобщим сумму, возникшую в примере 1. В 1 качестве f x возьмем функцию . x x +1K x + m Упражнение 2. Покажите, что в этом случае

bg

Заметим, что в правой части последней формулы записан квадрат суммы S1 , поэтому возникает легко запоминающаn яся формула

1 + 2 +K+ n = 1 + 2 +K+ n .

3

3

3

b

g

2

(4)

bg

bg

bg

b

gb g

g

Fx =

bg
1

mx x + 1 K x + m - 1

b

gb
1

-1

.

На основании равенства (2) получаем

kb
k =1

n

k +1K k + m

gb

g

=

1

m m!

F GH

-

b

n +1K n + m

gb

1

I g JK

.

(3)

Здесь m ! = 1 2 3 K m (читается: 'm факториал'). Такую сумму рассматривал немецкий математик Г.Лейбниц, когда в юности начал серьезно изучать математику. Правда, он находил сумму бесконечной последовательности слагаемых, т.е. сумму ряда

kb
k =1



k +1K k + m

gb

1

g

.

Эту задачу в числе других поставил перед ним Х.Гюйгенс, к которому Лейбниц обратился с просьбой помочь ему ликвидировать, как он выразился, его 'математическое невежество'. Мы можем найти решение задачи Гюйгенса, устремив в равенстве (3) n к бесконечности. Сумма ряда равна числу -1 S = m m ! . Заметим, что Лейбниц не только быстро, но и столь успешно ликвидировал свое 'математическое невежество', что сумел в течение десяти лет создать ни много ни мало новую область математики дифференциальное и интегральное исчисление. Пример 3. Рассмотрим функцию f x = x m . Обозначим

Она была известна еще в Древней Греции. Но из-за отсутствия в то время алгебраической символики выводилась она геометрически. Древнегреческие математики для доказательства различных числовых свойств использовали изображение чисел при помощи камешков или точек на песке. Решая одну задачу (см. упражнение 17,г), Никомах (I в.) расположил точки в виде квадрата, сторона которого содер- Рис. 2 жит 1 + 2 + 3 + ... + n точек (рис.2). В этом квадрате он выделил угловую точку, за ней квадрат из 9 точек, потом из 36 точек и т.д. Полученные Гобразные фигуры греки называли гномонами 1 . Никомах показал, что из точек гномона с основанием k можно сложить куб с ребром k. Используя современную символику, читатели легко могут это доказать. А поскольку все гномоны составляют квадрат со стороной 1 + 2 + 3 + ... + n, то формула (4) доказана. m Вернемся к вычислению сумм Sn . Как мы видим, в образовании F x при m = 1, 2, 3 не прослеживается какойлибо закономерности, позволяющей найти эту функцию для любого m. Упражнение 4. Покажите, что для m = 4 2 x x - 1 2x - 1 3 x - 3 x - 1 . Fx = 30 m Тем не менее можно выработать алгоритм вычисления Sn , если обратиться к новой функции. Назовем обобщенной степенью числа х произведение

bg

bg

b

gb

ge

j

x

bmg

= x x -1K x - m +1 .

b
b

gb

g

b

g

Упражнение 5. Убедитесь, что

x
Отсюда

m +1

g

= m + 1 x(m).

b

g
b

(5)

S

m n

=1 +2

m

m

bg


k =1

n

k

bmg

=

b

n +1

m +1

g

m +1

g

.

(6)

+K + n

m

и вычислим эту сумму для некоторых показателей m. При m = 1 имеем f x = x , F x = x x - 1 2 , и мы приходим к известной формуле

bg

bg b
2

g


k =1

n

k=

n n +1

b

g

Получили замечательные формулы, напоминающие правила дифференцирования и интегрирования обычной степенной функции. Таким образом, для обобщенной степени проблема поиска функции F решена. Покажем, как, используя обобщенную степень, найти
1 ч распознаватель; сначала времени: простейшие солнечные часы состояли из двух планок, скрепленных в виде буквы Г, затем распознаватель перпендикулярности; позже так стали называть Г-образную фигуру, приложение которой к основной фигуре не меняет ее форму.

.

Упражнение 3. Покажите, что при m = 2, т.е. для 2 Fx = соответствующая функция f x =x ,

bg

bg


'КВАНТ'

УЛЫБАЕТСЯ

39

сумму S . Разберем для примера случай m = 2. Так как

m n


k =1

n

k

b2g

=
2

b

n +1 3
n

g

b3g

, или
n

kb
k =1

n

k -1 =

gb

n +1 n n -1 3

gb

g

Упражнение 7. Найдите Q3 и убедитесь в верности равенства

, то

b2k - 1g
k =1

n

3

= n 2n - 1 .

2

e

2

j

Sn =

2


k =1

n

k=


k =1

k

b2g

=

k = nbn + 1gbn - 1g nb +
+
k =1

3

n +1 n n + 1 2n + 1 = . 2 6

gb

gb

g

m Этот прием позволяет найти суммы Sn при любом показателе m, зная формулы для соответствующих сумм с меньшими показателями. 3 4 5 6 Упражнение 6. Вычислите таким способом Sn , Sn , Sn , Sn . Одним из первых способ суммирования, использующий m формулу (2), применил к вычислению Sn французский математик Б.Паскаль. Он даже рассмотрел суммы более общего вида, когда основания степеней образуют произвольную арифметическую прогрессию. Пример 4. Вычислим, вслед за Паскалем, сумму

Qm = a + a + d

m

b

g

m

+K+ a + n - 1 d

cb

gh

m

.

Воспользуемся биномом Ньютона формулой возведения двучлена в m-ю степень:

m k где Cm = енты. Тогда

g bm - 1gK bm - k + 1g
a+b
m

b

m

=

Cm a

k

m -k k

b,

k=0

Решим, используя обобщенную степень, несколько интересных геометрических задач. В частности, найдем число одинаковых шаров, из которых сложены правильные пирамиды. Но прежде чем обращаться к пирамидам, рассмотрим правильные многоугольники, выложенные на плоскости из шаров. Начнем с треугольника. Возьмем один шар, к нему приложим еще два так, чтобы образовался треугольник, каждая сторона которого содержит два шара. Затем к э тим шарам приложим еще три, так чтобы снова Рис. 3 получился треугольник (рис.3), но уже со стороной в три шара. Далее можно выложить треугольник с четырьмя шарами в каждой стороне и т.д. Выпишем последовательность чисел, выражающих количества шаров, составляющих полученные правильные треугольники: 1, 3, 6, 10, ... Эти числа называют треугольными. Аналогично из шаров строят квадраты, пятиугольники и другие правильные многоугольники, растущие из какой-либо одной своей вершины (рис.4, 5). Количества используемых при этом шаров представляют собой соответственно квадратные числа 1, 4, 9, 16, ..., пятиугольные числа 1, 5, 12, 22, ...

k!

биномиальные коэффици2 m -1 m +1 a

b

a+d

g

m +1

-a

m +1

=C

1 m m +1 a

d+C

d +K+ d

2

m +1

,

b

a + 2d

g

m +1

- a+d

b
b

a + nd
= Cm
1

+1

g d + C ba + d g g - ca + bn - 1gdh = ca + bn - 1gdh d + C ca + bn - 1gdh
=C
1 m +1

b

g b

m +1

=
m 2 m +1 m -1

a+d

d +K+ d

2

m +1

,

m +1

m +1

m

2 m +1

m -1

d +K+ d

2

m +1

.

Складывая левые и правые части равенств, получим
a + nd

g

m +1

-a

m +1

=C

1 Q m +1 m

d+ +C
3 m +1Qm - 2

+C

2 2 m +1Qm -1d

d + K + nd

3

m +1

. (7)

Применим формулу (7) для вычисления некоторых k Qm (учитывая равенство Cm +1 = 0 при k > m + 1). Знаn нам хорошо известны. 2 3 Найдем Q2 . Положим в (7) m = 2: a + nd - a 3 = 3Q2 d + + 2Q1d + Q0 d . Откуда Q2 = n a + a n - 1 d +
2 3

чения Q0 = n и Q1 =

2a + n - 1 d

b

g

b

g

F GH

2

b

g

d

2

6

e

2n - n + 1 .

2

I jJK

В частности,

b2k - 1g
k =1

n

2

=n

4n - 1 3

2

,

b
k =1

n

3k - 2

g

2

=n

6 n - 3n - 1 2

2

.

и т.д. Рис. 4 Идея выкладывания шаров на плоскости в виде правильных многоугольников восходит к школе Пифагора. Пифагорейцами было подмечено, что n-е треугольное число представляет собой сумму первых n натуральных чисел, n-е квадратное сумму первых n нечетных чисел, n-е пятиугольное сумму n членов прогрессии 1, 4, 7, 10, ... 3n - 2 , ... Это Рис. 5 позволило им дать общее определение q-угольного числа с номером n как суммы n членов арифметической прогрессии с первым членом 1 и разностью q 2.

b

g


40

КВАНT 2002/?3

Упражнение 8. Покажите, пользуясь этим определением, что q-угольноое число с номером n задается формулой

q

b ng

=

n 2

cb

n -1 q - 2 + 2 .

gb

gh

Откуда, в частности, имеем
3 n =

b g nb

n +1 2

g=b

n +1 2

g

b2 g

, 4 n = n2 .

bg

Фигурные числа обладают многими интересными свойствами (см. далее упражнение 17). Одно из самых замечательных их свойств было установлено П.Ферма: всякое натуральное число является суммой не более трех треугольных чисел, не более четырех квадратных, не более пяти пятиугольных чисел и т.д. Доказано оно было О.Коши в 1815 году. Пример 5. А теперь сложим из одинаковых шаров правильный тетраэдр треугольную пирамиду, все грани которой правильные треугольники. Сначала плотно уложим на плоскости шары нижнего слоя в виде правильного треугольника со стороной n (в каждой стороне содержится n шаров); в углублениях между шарами нижнего слоя разместим шары следующего слоя и т.д. Количество шаров каждого слоя выражается соответствующим треугольным числом, а поэтому количество шаров, из которых сложен тетраэдр, выражается суммой


И тем более античные ученые, мыслившие геометрически, не могли себе даже позволить обобщения тех же тетраэдрических и пирамидальных чисел, не говоря уже об аналогах любого q-угольного числа, на случай четырехмерного пространства. Попытки выйти из трехмерного пространства в пространство большей размерности рассматривались тогда как противоречащие здравому смыслу. Даже в III веке н.э. александрийский математик Папп писал: 'Не существует ничего, что заключало бы больше, чем три измерения'. Ну а мы займемся 'строительством' правильных q-угольных пирамид в четырехмерном пространстве. Обозначим



b4g
q

b ng

=

b3g
q

b1g

+

b3g
q

b2g

+K+

b 3g
q

bng

.

Упражнение 9. Покажите, что


b4g
q

bng = nb
=

n +1 n + 2 4!

gb

g cb

n -1 q -2 + 4 .

gb

gh
g

Продолжая обобщать q-угольные числа на пространства большей размерности, определим сумму



bmg
q

bng

b

m -1 q

g

b1g

+

m -1 q

bg

b2g

+K+

b

m -1 q

bng

.

Упражнение 10. Индукцией по m докажите, что


bm g
q

b n g = nb


n +1K n + m - 2 m!

gb

g cb

n -1 q -2 + m .

gb

gh

b 3g
3

bng

= 3 n + 3 n - 1 + K + 3 1 =

bg

b

g

=

1 2

Числа 3 называют тетраэдрическими, они представляют собой обобщение треугольных чисел на случай трехмерного пространства. Чтобы это подчеркнуть, мы добавили верхний индекс 3; для плоского случая индекс 2 мы не писали. Пример 6. Из шаров можно сложить и правильную 4угольную пирамиду. Число шаров нижнего слоя такой пирамиды равно 4 n , а их количество во всей пирамиде равно

b 3g

bk + 1g
k =1

n

bg

В частности, при q = 3 получаем

b2g

=

n n +1 n +2 6

b

gb

g

bmg
3

.

bng = nb

n +1K n + m -1 m!

gb

g

.

bg
b



b 3g
4

bng

= 4 n + 4 n - 1 + K + 4 1 =

bg

g

bg
n

=
3


k =1

k=

2

n n + 1 2n + 1 6

b

gb

g

.

Числа b4 g n называют пирамидальными. С тетраэдрическими и пирамидальными числами были знакомы пифагорейцы, им и принадлежит идея выкладывания пирамид из одинаковых шаров. Но они не строили q-угольных пирамид для q > 4: ведь в этом случае невозможно на правильный qугольник, сложенный из шаров, уложить новый слой той же формы из меньшего числа шаров так, чтобы шары лежали плотно и не скатывались. Мы же можем пойти дальше. Пример 7. Найдем сумму q-угольных чисел для любого q, уже не обращаясь к геометрическому истолкованию этих сумм. n n b 3g n = k = k 1 + k - 1 q - 2 = q q 2

bg

Это обобщение треугольных чисел на случай m-мерного пространства. Поскольку многомерное обобщение треугольника называют симплексом (от лат. simplex простой), то bmg числа 3 n естественно назвать m-мерными симплициальными. Числа эти появились уже у Нарайаны при решении задачи, сформулированной в начале статьи. Теперь мы можем привести решение Нарайаны, используя наши обозначения. 1 1. Корова приносит 20 = b3 g 20 телок первого поколения. 2. Первая телка первого поколения дает 17 телок второго поколения, вторая 16 и т.д. Всего будет 17 + 16 + 15 + ... ... + 1 телок второго поколения. В результате получаем число b2g 3 17 = 153 . 3. Подсчитывая потомство телок второго поколения, при2 2 2 ходим к сумме b3 g 14 + b g 13 + K + b g 1 . А она равна 3 3

bg

bg

bg

14 = 560 . 3 4. Продолжая рассуждать дальше, найдем численность всего потомства:

b 3g b1g
3

bg

bg
3

bg
3

bg

b20g

+

b2 g
3

b17 g

+

b3g

+

b 5g
3

b 8g

b14 g

+
6 3

b4 g

+

bg

b 5g

b11g

+

+

b7g
3

b2g

=

F b g b g GH b
k =1 k =1

gb

gI JK

= 20 + 153 + 560 + 1001 + 792 + 210 + 8 = 2744 . Итак, в течение 20 лет от одной коровы появится стадо численностью в 2745 голов. Все рассмотренные до сих пор примеры касались суммирования степенных функций. И у читателя может создаться впечатление, что для других функций формула (2) не годится. На самом деле это не так. Пример 8. Вычислим следующую сумму:

= 1 + 2 + 3 +K+ n + =
n n +1 2

b

g

+

q-2 2



kb g = 2 bn + 1gnbn - 1g = nbn + 1g cbn - 1gb 3 6
q-2
2 k =1

n

q-2 +3 .

gh

sin a + sin 2a + K + sin na .


'КВАНТ'

УЛЫБАЕТСЯ

Умножим каждое слагаемое на 2 sin и преобразуем полученные произведения в разности: 2
2 Откуда 2 sin a 2 2 sin a sin ka = cos
n

a

Так к ак x 3 - x = x x + 1 - 2 x - 1 x , F x = x - 1 x, и

bg b

g

b

gb b
2

gb

g

41
то t = 2,

2k - 1 2 a 2

a - cos

2k + 1 2

a = F k - F k +1 .

bg b
n +1 2

g


k =1

n

k 3-k
k

g = nb

n+1 2
n

g

.


k =1

sin ka = cos

- cos

2n + 1 2

a = 2 sin

a sin

na 2

Пример 11. Вычислим сумму .

- cos a + cos 2a - cos 3a + K + -1

bg

n

cos na .

Таким образом, при a 2 m имеем

е
k=1

n

sin ka =

sin

n +1 na a sin 2 2. a sin 2

Запишем тождество 2k + 1 2k - 1 a 2 cos cos ka = cos a + cos a; 2 2 2 здесь t = 1, поэтому
2 cos a 2

В случае a = 2 m сумма равна нулю. Другие примеры читатели найдут в упражнениях. В заключение сделаем два замечания. Замечание 1. Если по функции f не удается найти функцию F, удовлетворяющую (1), то стоит попытаться найти функцию F, удовлетворяющую какому-нибудь другому условию, например такому:
f x = x F x - 1 - 2F x + F x + 1 .

Откуда при
n

b -1g cos ka = b -1g cos a b2m + 1g получаем
k n k =1 k

n

2n + 1 2

a - cos

a 2

.

bg cb b

g

bg b

gh

При внимательном рассмотрении нетрудно увидеть, что выражение, стоящее в скобках, равно F x - F x - 1 = 2 = F x - 1 = F x - 1 . И в этом случае при суммировании f k все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются, в результате

c b gh bg
n k =1

g

bg

b

g

При a = равна n.

b-1g b2m + 1g
k =1

cos ka = -

1 2

+ -1

bg

n

cos

2n + 1 2 a

a

.

2 каждое слагаемое равно единице, и сумма

2 cos

Упражнения
12. Докажите равенство

f bk g
4cos ka sin
2

= nF n + 1 - n + 1 F n + F 0 .

b

gb g

g bg bg b

b
k =1

n

a + kd a + k + 1 d K a + k + m d

gd b
=

gi d b


1

gi

=

Пример 9. Вычислим сумму cos a + 2 cos 2a + K + n cos na . Упражнение 11. Покажите, что

1 md

ж 1 з з з a + d a + 2dK a + md з и

a 2

= - cos k - 1 a + 2 cos ka - cos k + 1 a .

b

g

da + b
; ;

n +1 d a + n + 2 d K a + n + m

g id b

1

gi d b

и рассмотрите его частные случаи:

I J gd i JK

Умножая обе части равенства на k и суммируя по k, найдем при a 2 m искомую сумму
n + 1 cos na - n cos n + 1 a - 1 . 2a 4 sin k =1 2 Этот результат можно вывести из формулы примера 8, если заметить, что sin kx = k cos kx , и продифференцировать полученную там сумму, предварительно заменив в ней а на х. Предлагаем читателям проделать это самостоятельно. Замечание 2. Предположим теперь, что по функции f удалось найти такую функцию F, для которой выполняется равенство

1) 2) 3) 4)



n

k cos ka =

b

g

b

g

b

g

bk + 1gbk + 2gbk + 3g ; 1 b2k - 1gb2k + 1gb2k + 3g
1
k =1 n k =1

b b
k =1 n k =1 n

n

2k - 1 2k + 1

gb

1

g g

3k - 1 3k + 2

gb

1

.

13. Найдите следующие суммы:

f x = F x + 1 - tF x .

bg b bg
k

g

bg bg

1) 2)

b
k =1 n k =1 n

n

2k - 1 2k + 1 ; 2k + 1

gb

g

Тогда

fk t

=

F k +1 t
k

b

g

-

Fk t

k -1

, 3) . 4) 5)

что позволяет найти сумму


k =1

n

fk t
k

bg

=

F n +1 t
n

b

g - Fbg 1
g

k bk + 1g ; k bk + 1gbk + 2gb k -1 k! ;
2 2 k =1 n

k+3

g

;

Приведем примеры. Пример 10. Пусть f x = x 3 - x .

bg b

F log GH
a k =1

k =1 n

1+

1 k

I JK

;


42
6) 7) 8)

КВАНT 2002/?3


k =0
n

n -1

arctg

1+k k +1

е
n

k=1

sin x sin kx sin k + 1 x ;

b

1

g

;

в)


k =1 n

n

k sin ka =

b

n + 1 sin na - n sin n + 1 a 4 sin
2

g

a

b

g

;

k =1



sin x cos kx cos ( k + 1) x .

г) д)


k =1 n

a sin kx =

k

a

n+ 2

2 n +1 sin nx - a sin n + 1 x + a sin x

b

1 - 2a cos x + a a
n+ 2

2

g

;
2

14. Докажите при d 2 m а)


k =1 k =1

a cos kx =

k

cos nx - a

n +1

cos n + 1 x + a cos x - a
2

b

g

1 - 2 a cos x + a

.

k =0


n

n

n n+1 d sin d sin a + 2 2 ; sin (a + kd ) = d sin 2
cos (a + k d ) = sin n n+1 d cos a + d 2 2 . d sin 2

16. Вычислите сумму рядов 1

а)

kb
k =2

k+d ; 1

g

б)

k =1



б)

k - 1.
2

15. Выведите следующие формулы:

а) б)

e

k =1 k =1 n

n

k + 2 - 2 k +1 + k = 1 a 2
k

j

n+2 -

n + 1 - 2 + 1;

2

k

tg

=

1 2
n

ctg

a 2
n

- ctg a ;

17. Докажите следующие утверждения: а) квадратное число есть сумма двух последовательных треугольных чисел (результат пифагорейцев); б) k n = k -1 n + 3 n - 1 (результат Никомаха); в) восьмикратное треугольное число, увеличенное на 1, является квадратным (результат Диофанта, III в.); г) если разбить ряд нечетных чисел на группы, число членов которых возрастает как натуральный ряд, то сумма чисел каждой группы равна кубу числа членов этой группы (результат Никомаха).

bg

bg

b

g

НАМ ПИШУТ Аномальные элементы
Существует ряд химических элементов, которые с полным правом могут быть названы аномальными. Это галлий Ga, германий Ge, висмут Bi, ксенон Xe и радон Rn. Аномальность их заключается в том, что при переходе соответствующего вещества из жидкого состояния в твердое его плотность не увеличивается, а уменьшаться (см. таблицу). Из химических элементов они единственные в своем роде. Но существует всем известное химическое соединение вода, обладающая аналогичным свойством. Это свойство воды играет колоссальную роль в сохранении жизни на Земле. Если бы лед был плотнее воды, то северные реки и Северный Ледовитый океан промерзли бы до дна, жизнь в них была бы уничтожена. Все это могло бы привести к катастрофическому изменению климата с гибельными последствиями. И только благодаря аномальным свойствам воды этого не происходит. Можно предположить, что и аномальные элементы играют существенную роль в природных процессах, пока только не ясно какую положительную или отрицательную. Они могут быть как катализаторами, так и ингибиторами этих процессов. (Напомним, что катализаторы это вещества, ускоряющие химические реакции. Биологические катализаторы называют ферментами. Ингибиторы это вещества, снижающие скорость химических реакций или подавляющие их. Ингибиторы ферментов используют для изучения механизма их действия, а также для лечения нарушений обмена ещналогию с углекислым газом. В микроколичествах он способствует дыханию за счет воздействия на нервные центры человека, в больших же к
Ga Ge Bi Xe Rn

Таблица
H 2O 273,15 1000 999,87

Tпл 302,95 1209,65 544,45 161,35 202,15
ж

6095

5570

10049

2987

4400

T
т

302,95 1209,65 614,05 165,05 211,15 277,13 273,15 5904 5326 9800 2700 133,15 4000 916,8 273,15

T

293,15 298,15

Здесь Tпл температура плавления вещества (измеряется в К), ж плотность вещества в жидком состоянии (измеряет3 ся в кг м ), т плотность вещества в твердом состоянии (измеряется в кг м ), Т температура замера плотности вещества (измеряется в К). К сожалению, не все замеры были проведены при температуре плавления, но это не меняет общую тенденцию. Кроме того, не обнаружены данные о температуре, при которой производились замеры плотности Bi и Rn в твердом состоянии. что такую же двоякую роль играют и аномальные элементы. Все это требует детального изучения. Посмотрим, каковы концентрации аномальных элементов (в атомных частях) в змной коре: Ga 400 10-8 , Ge 200 1

- 19 8- 3

,



-