Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/01/52.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:45 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:17:16 2012 Кодировка: Windows-1251

#
a) A K
D

К В А Н T $ 2002/1

б) C A

D

C

2. Нет. Указание. Приведите уравнение к виду

v A B

12 sin x = 5 cos x - 4 .

4 14 K M H H L C A
56

M 4 14 L

A
. 5

3 14

D

3 14
, cos =

D
33 65

C

Решениям этого уравнения соx ответствуют точки A u; v и O u 4 B u; v пересечения единич5 2 2 ной окружности u + v = 1 с графиком функции 12v = 5u - 4 (рис.6). 34 . 6 . Указание. Пусть О 3. 9 центр параллелограмма, BD =2x, АС = 2у. Тогда, так как

bg

bg

2 AB + BC получаем систему

e

2

2

j

2 2 = BD + AC , BO BE = AO OC,

= AMH , sin =
cos DML1 = cos - =

b

g

65 12

,

13

, tg - =

b

g

5 12

,

4. 618, 659, 698. 5.

325 В первом случае сечение выглядит, как на рисунке 4, и имеет площадь

sin DMK2 = sin + =

b

g

323

.

F GH

-; -

8 7

I UF JK GH

ний функции f a = a 4 - a

bg

1 - ;0 2

Rx + y | S | xb 9 - x g T I U F 8 ; + I JK GH 9 JK
2 2 4 4 2

= 17 =y .
2

. Указание. Область значе-

отрезок - 2 a

2 . По-

S1 = MN + KE KM = MN 1 +

b

g

= 1-

F F 3 I GG GH 14 JK G GH
2

F GH

A K1

A D

I JK

этому корнями данного уравнения не могут быть те и только 4 3 те значения х, для которых либо 2 x + x < 0 , либо

ML =

3 1 + 14

-

54 12 14 3 14
=
2

I JJ JJ K

4 2x + x > неравенства.
6. 26; 42;

4

3

2 x + 4 x - 8 . Осталось решить полученные

4 = 12 14 13
187 = 169 5292 187 .

169 14 27

Во втором случае сечение треугольное и имеет площадь 3 2 975 14 1 - 3 187 < S1 . S2 = K2 M MN = =2 323 14 323 14 325 34 6. - ; . Указание. Множество решений каждого из нера43 венств системы

FI GH JK

может представлять собой отрезок, объединение двух непересекающихся лучей (с началом), прямую, точку или пустое множество. Поэтому система может иметь единственное решение только в следующих случаях: А. Решением одного из неравенств является ровно одна точка. Б. Множества решений обоих неравенств имеют общую граничную точку, т.е. существует решение системы

Rba - 1g x | S |ax + 2b T
2

2

+ 2ax + a + 4 0,

a +1 x + a +1 0

g

Периметр сечения многогранника плоскостью, отстоящей от основания A B C D (размером 6 Ч 7 ) на расстояние x 0; h , где h высота исходного параллелепипеда, представляет собой линейную функцию P x , так как сечение каждой из восьми перечисленных в условии граней есть отрезок, длина которого линейно зависит от х. Поэтому из равенств P 0 = P h = 26 следует, что функция P x есть константа, равная 26. 23 3 Аналогично, пло72 2 щадь сечения S x 30 квадратичная функ7 ция, удовлетворяю4 щая равенствам S 0 = S h = 42 , по3 3 этому она достигает экстремума в точке 7 3 h 3 4 , т.е. когда плос2 30 2 7 3 кость сечения равно2 2 удалена от основа. 7 ний (на рисунке 7 изображен вид 'сверху'). Это сечение представляет собой 8угольник, площадь которого равна

LM MN

253 + 84 3 8

OP PQ

.

bg

bg bg

bg

bg

bg bg

Rba - 1g x | S |ax + 2b T
2

2

+ 2ax + a + 4 = 0,

S

a + 1 x + a + 1 = 0.

g

F h I = FG GH 2 JK GH

7 2

+

7 2



3 2

+

3 2

I JJ K

F GG H

3 + 3

3 2

+

7 4

I JJ K

-



1. -; - 2 U 0; lg 101 - 2 . Указание. Неравенство преобразуется к виду log 2 5 - 1 log 5 y 0 , где y = 101 10 - 10

b

d

i

g

2
x 2 +2 x

77 33 3 253 + 84 3 - 3 = > 42 . 42 2 2 2 8

.

1. 12.

2.

RF |G SH | T

arccos

F 27 I GH 28 JK

3
+ 2 m; + arcsin

F 17 I GH 28 JK

+ 2 n ;

I JK