Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/06/11.pdf
Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:08 2005
Дата индексирования: Tue Oct 2 00:10:13 2012
Кодировка: Windows-1251

УРАВНЕНИЯ

ПЕЛЛЯ

11

последователи недостаточно занимались этой теорией (если только она не содержалась в тех книгах Диофанта, которых мы лишились вследствие разрушительного действия времени); следовательно, арифметикам предстоит развивать или восстанавливать ее. Поэтому арифметикам, дабы осветить тот путь, по которому надо следовать, предлагаю я эту теорему, чтобы они доказали ее, или эту задачу, чтобы они решили ее. Если же преуспеют они в ее доказательстве или решении, то им придется признать, что вопросы такого рода ничем не уступают в отношении красоты, трудности или метода доказательства самым знаменитым вопросам геометрии. Если дано произвольное число, которое не является квадратом, то найдется бесконечное множество таких квадратов, что если этот квадрат умножить на данное число и к произведению прибавить единицу, то результат будет квадратом. Пример. Пусть 3, которое не является квадратом, будет данным числом. Если умножить его на квадрат, равный 1, и к произведению добавить 1, то в результате получится 4, что является квадратом. Если то же самое число 3 умножить на 16, то получится произведение, которое при увеличении на 1 превращается в 49, тоже квадрат. И кроме 1 и 16 можно найти бесконечное множество квадратов с тем же свойством. Но я спрашиваю об общем правиле решения когда дано произвольное число, не являющееся квадратом. Например, найдите такой квадрат, что если произведение этого квадрата и числа 109, 149 или 433 увеличить на 1, то получится квадрат.' Таков был вызов Ферма, который он сделал в 1657 году другим математикам, в частности английским. Очевидно, что он желает не традиционного диофантова решения в рациональных числах, а решения задачи в целых числах.2 Как это ни странно, но пояснения к задаче были опущены одним из посредников в том экземпляре письма, который был передан английским математикам; в результате они сочли задачу совершенно глупой. А именно, можно ввести обозначение m x = 1+ y n и подставить в уравнение:

Когда же дополнительное требование, что x и y должны быть целыми числами, дошло до английских математиков, то они пожаловались, что условие задачи изменили. Конечно, их жалобу можно понять в свете сильной диофантовой традиции, но, как указал Ферма, было наивно надеяться, что он предложил тривиальную задачу. Как видно из приведенной здесь таблицы, задача Ферма весьма сложная: для d = 61 наименьшее решение это пара y = 226153 980 и x = 1766319049. (Впрочем, впервые посчитал это не Ферма, а родившийся в 1114 году индиец Бхаскара Акхария.) А для d = 109 вообще y = 15140424455100. Таблица
2) 2 7) 3 12) 2 17) 8 21) 12 26) 10 30) 2 34) 6 39) 4 43) 531 47) 7 52) 90 56) 2 60) 4 65) 16 69) 936 73) 267000 77) 40 82) 18 86) 1122 90) 2 94) 221064 98) 10 03) 22419 107) 93 111) 28 115) 105 119) 11 124) 414960 128) 51 132) 2 136) 3 140) 61 145) 24 149) 2113761020 3) 1 8) 1 13) 180 18) 4 22) 42 27) 5 31) 273 35) 1 4 0) 3 44) 30 48) 1 53) 9100 57) 20 61) 226153980 66) 8 70) 30 74) 430 78) 6 83) 9 87) 3 91) 165 95) 4 99) 1 104) 5 108) 130 112) 12 116) 910 120) 1 125) 83204 129) 1484 133) 224460 137) 519712 41) 8 146) 12 150) 4 5) 4 10) 6 14) 4 19) 39 23) 5 28) 24 32) 3 37) 12 41) 120 45) 24 50) 14 54) 66 58) 2574 62) 8 67) 5967 71) 413 75) 3 79) 9 84) 6 88) 21 92) 120 96) 5 101) 20 105) 4 109) 15140424455100 113) 113296 117) 60 122) 22 126) 40 130 ) 570 134) 12606 138) 4 142) 12 147) 8 6) 2 11) 3 15) 1 20) 2 24) 1 29) 1820 33) 4 38) 6 42) 2 46) 3588 51) 7 55) 12 59) 69 63) 1 68) 4 72) 2 76) 6630 80) 1 85) 30996 89) 53000 93) 1260 97) 6377352 102) 10 1 106) 3115890 110) 2 114) 96 118) 28254 123) 11 127) 419775 131) 927 135) 21 139) 6578829 143) 1 148) 6

m ж з1 + n и
откуда

ц yч - dy 2 = 1 , ш

2

m2 2m y + 2 y 2 - dy 2 = 0 , n n 2 2 2mn = dn - m y ,

dn 2 + m 2 2mn , x= . 2 2 dn 2 - m 2 dn - m Полученные формулы, как легко убедиться, дают бесконечно много решений в рациональных числах. y=
Упражнение 54. а) Убедитесь, что эти формулы дают все решения. б) Найдите аналогичные формулы для уравнения x 2 + y2 = 1 .
2 По иронии судьбы, ныне слово 'диофантово' употребляют, желая получить решения в целых числах, тогда как сам Диофант ни в одной из дошедших до нас работ не занимался решениями в целых числах, а только в рациональных.

Что сделали англичане?

Англичанам удалось не только найти частные решения при d = 109, 149 или 433, но и разработать общую процедуру получения решений для любого значения d. Кто это сделал неизвестно. Хотя Джон Валлис (16161703) первым дал описание процедуры и получил решения в трех частных случаях, он приписывает авторство виконту Уильяму Броункеру (16201684). В опубликованной переписке Валлиса нет никаких указаний на то, что Броункер когда-либо сообщал ему что-либо об этом методе, кроме нескольких простых