Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/06/09.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:08 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:11:23 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: релятивистское движение

МАРИАН

СМОЛУХОВСКИЙ

И

БРОУНОВСКОЕ

ДВИЖЕНИЕ

9

Итак, пусть наблюдатель зафиксировал частицу, находящуюся в точке S, и включил секундомер. А выключил он его, когда частица через время nDt очутилась в точке F. Промежуточные положения частицы на зигзагообразной траектории, соответствующие фиксированным моментам наблюдения, будем обозначать I1, I2, K, In-1 . Заметим, что рассматриваемая траектория это не действительный путь частицы, а чисто условная ломаная линия, вид которой зависит от частоты измерений ее координат. Соединим точку начала изучаемого движения S и две первые промежуточные точки I1 и I2 в треугольник SI1I2 . Используем геометрическую теорему косинусов, согласно которой имеет место равенство
2 2 2 SI2 = SI1 + I1I2 - 2 SI1 Ч I1I2 cosj 1 ,

где j 1 удобно между cos j 1=

угол при вершине I1 . Для дальнейшего анализа вместо угла j 1 ввести дополнительный ему угол a 1 направлениями смещений SI1 и I1I2 . Тогда cos p - a 1 = - cos a 1 , так что

времени t пропорционально не среднее смещение частицы, а его квадрат. Таким образом, отношение квадрата смещения частицы к соответствующему времени не зависит ни от выбора промежутка времени между последовательными наблюдениями, ни от полного времени наблюдения. Однако естественно полагать, что это отношение зависит от свойств окружающей среды и характеристик самой частицы. Кроме того, так как случайная сила определяется тепловым движением молекул, амплитуда смещения за то же время должна возрастать с температурой. Теоретическое рассмотрение задачи о случайном блуждании на основе так называемых дифференциальных уравнений ФоккераПланка, истоки которых лежат в трудах Эйнштейна и Смолуховского, позволяет выразить обсуждаемое отношение через феноменологический коэффициент диффузии D:

(

SI2 = SI1 + I1I2 + 2 SI1 Ч I1I2 cos a 1 .
Целиком аналогично для треугольника SI2 I3 можно получить соотношение
2 2 2 SI3 = SI2 + I2I3 + 2 SI2 Ч I2 I3 cos a 2 ,

2

2

2

R t

)2

= 2D .

где a 2 угол между направлениями смещений SI2 и I2 I3 . 2 Подставляя сюда SI2 из предыдущего уравнения, получим
2 2 2 2 SI3 = SI1 + I1I2 + I2I3 +

Этот факт не должен нас удивлять, ибо, как отмечал в 1906 году Смолуховский, один и тот же подход пригоден и для анализа блуждания броуновской частицы, и для движения молекулы, в том числе и собственной молекулы среды. В последнем случае процесс блуждания, по определению, является процессом самодиффузии. Еще раньше, в 1905 году, Эйнштейн рассмотрел броуновское движение при наличии вязкого сопротивления среды с коэффициентом диссипации и нашел свое знаменитое соотношение между величинами и D:

+ 2 SI1 Ч I1I2 cos a 1+ 2 SI2 Ч I2I3 c os a 2 .
Повторяя эту цепочку преобразований вплоть до конечной точки наблюдения F, придем к уравнению
2 2 2 2 2 SF = SI1 + I1I2 + I2 I3 + K + In-1F +

D=

kT ,

+ 2 SI1 Ч I1I2 c os a 1+ + 2 SI2 Ч I2 I3 c os a 2 + K + 2 SIn-1 Ч In-1F c os a
n-1

.

Учтем теперь, что в среднем все квадраты смещений частички за одинаковое время Dt равны между собой:

(

SI1

)

2

= ( I1I2

)

2

= K = ( In -1F

)2 (

R

2 ).

Это соотношение справедливо именно потому, что, как уже отмечалось выше, время t достаточно велико по сравнению со временем между столкновениями. Следовательно, каждое выражение в соотношении, соответствующее квадрату смещения за одно и то же время, является результатом многих столкновений. Из этих же соображений равны между собой и сами амплитуды смещений. С другой стороны, благодаря молекулярному хаосу положительные и отрица2 тельные значения множителей cos i в формуле для ( SF ) встречаются с одинаковой вероятностью. Поэтому сумма произведений в правой части формулы будет стремиться к нулю при увеличении числа шагов n, т.е. времени наблюдения nt . В результате средний квадрат смещения броуновской частицы за время наблюдения составит

где k постоянная Больцмана, а Т температура (в кельвинах). Это уравнение дало возможность Перрену экспериментально определить k, а затем и постоянную Авогадро (за что он получил Нобелевскую премию). В заключение нам осталось лишь указать на один интересный аспект броуновского движения. А именно, если мы увеличим разрешение микроскопа, с помощью которого наблюдаем за броуновской частицей, и уменьшим промежуток времени t между последовательными регистрациями положения частицы, то полученная ломаная линия будет подобна первоначальной траектории. Повторение процедуры также приведет к ломаной того же вида. Такое свойство кривых называется самоподобием. Самоподобие кривых свидетельствует о том, что пути случайного блуждания имеют так называемую фрактальную размерность. Последнюю нельзя считать ни единицей (как для обычной кривой), ни двойкой (как у поверхности). Несмотря на отсутствие знакомства непосвященных людей с фракталами, они встречаются в жизни очень часто. Классический пример тому береговая линия. Чем более пристально в нее вглядываться, тем менее заметные, более мелкомасштабные изгибы обнаруживаются. Особенно это поражает на карте Норвегии, с ее многочисленными разветвляющимися фьордами. Другим примером могут служить дендритные кристаллы хотя бы снежинки.

(

SF

)2

R2 = nR .

2

Если обозначить полное время наблюдения за объектом как t nt , то это уравнение можно переписать следующим образом:

R2 ( R ) . = t t Теперь нам становится понятным, почему формула ( ) непригодна для описания скорости хаотического движения:
2

2 Квант ? 6