Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/05/37.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:04 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:53 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: кольца сатурна

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

КРУЖОК

37

11. Изобразите на плоскости хОу точки, для которых а) {x } = {y} ; б) {x } + {y} < 1 .

Несколько задач Уравнения, неравенства и другие задачи про целые и дробные части числа довольно часто встречаются на математических олимпиадах разных уровней. Разберем несколько характерных примеров. Задача 1 (II Соросовская олимпиада). Решите уравнение

При k = 1 приходим к уравнению й2 + 2 щ = 1 , кл ъы
2 что дает систему 1 ? 2 + < 2 , 0 ? < 1 , откуда

x 2 - 10 [ x ] + 9 = 0 .
Решение. Пусть [ x ] = k . Прежде всего, ясно, что k ? 0 . Поскольку x ? k , получаем при x ? 0 неравенство
x 2 - 10 x + 9 ? 0 .

Отсюда следует, что 1 ? x ? 9 , но тогда и 1 ? k ? 9 , причем x 2 + 9 целое число, делящееся на 10. Проверка показывает, что годятся значения х = 1, x = 61 , x = 71 , х = 9. Ответ. 1; 61 ; 71 ; 9. Задача 2. Решите уравнение

2 - 1 ? < 1 , т.е. 2 ? x < 2 . Наконец, при k = 2 имеем уравнение й 4 + 2 щ = 0 , кл ъы равносильное системе 0 ? 4 + 2 < 1 , 0 ? < 1 . Ее решение промежуток 0 ? < 5 - 2 , откуда 2 ? x < 5 . Объединяя полученные промежутки, запишем ответ. Ответ. 0 ? x < 1 , 2 ? x < 5 . Задача 4 (V Соросовская олимпиада). Решите систему уравнений м x + [ y] + {z} = 3, 9, п п п п y + [ z ] + {x} = 3, 5, н п п п z + [ x ] + {y} = 2. п о
Решение. c = [z] , = 0 ? < 1, 0 Пусть a = [ x ] , = {x} , b = [ y ] , = {y } , {z} , где а, b, с целые числа, 0 ? < 1 , ? < 1 . В этих обозначениях система имеет вид

й 2x + 1щ к ъ = [x] . лк 3 ъы Решение. Пусть [ x ] = k . Тогда
м п пk ? 2 x + 1 < k + 1, п 3 н п пk ? x < k + 1. п о

мa п п п пb н п пc п о п Складывая уравнения
т.е. (* )

+ + b + = 3, 9, + + c + = 3, 5, + + a + = 2.
системы, получим

Запишем эквивалентную систему:
м 3k - 1 3k + 2 п п , п 2 ?x< 2 н п пk ? x < k + 1, п о

2 (a + b + c + + + ) = 9, 4 ,
a + b + c + + + = 4, 7 .

откуда следует, что k обязано удовлетворять неравенствам

3k - 1 3k + 2 < k +1, k < , 2 2
т.е. -2 < k < 3 . Итак, возможны следующие значения k: 1; 0; 1; 2. Подставляя последовательно эти значения в систему ( * ) и решая полученные неравенства, находим ответ. 1 5 Ответ. -1 ? x < - ; 0 ? x < 2 ; ? x < 3 . 2 2 Замечание. Можно было решить эту задачу и иначе. Построив графики левой и правой частей исходного уравнения, обнаружим, что они совпадают на промежутках, указанных в ответе. Задача 3. Решите уравнение йx 2 щ = 2 [x] . кл ъы Решение. Пусть [ x ] = k , {x} = . Тогда k ? 0 , ? 0 и
й(k + )2 щ = 2 [k + ] , кл ъы после чего приходим к уравнению й2k + щ = 2k - k . кл ъы
2 2

Вычитая из полученного уравнения последовательно первое, второе и третье уравнения системы, имеем м пc + = 0, 8, п п пa + = 1, 2, н п п пb + = 2, 7, о п откуда следует, что с = 0, = 0, 8 , а = 1, = 0, 2 , b = 2, = 0, 7 . Ответ. х = 1,7; у = 2,8; z = 0,2. Вот еще одна задача о поведении целых и дробных частей чисел вида n , где корень некоторого квадратного уравнения с целыми коэффициентами. 2002 щ й Задача 5. Докажите, что а) к(2 + 3 ) ъ нечетное кл ъы 2002 число; б) (2 + 3 ) > 0, { . 9 9 Решение. Раскрывая скобки в выражении получим

{

}

1001

(2

+3

)

2002

,

(2

+3

)

2002

= A+B 3 ,

где А и В натуральные числа, причем

(2
Но тогда

-3

)

2002

= A-B 3 =

1

(2

+3

)

2002

.

Поскольку левая часть целое число, то 2k - k2 это 0, 1 и 2. При k = 0 получим йк л 0 ? < 1 . Отсюда 0 ?

уравнения неотрицательна, а k ? 0 , и возможны три значения k
x
2

(2
Далее,

+3

)

2002

+ (2 - 3

)

2002

= 2A .

щ = 0 , что выполняется при всех ъы < 1.

(2

+3

)

2002

= 2 A - 1 + 1 - (2 - 3

)

2002

.