Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/05/17.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:03 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:22:11 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: дисперсия скоростей

ЗАДАЧНИК

'КВАНТА'

%

трансформатора подключают к сети переменного напряжения 220 В, к другой обмотке этого трансформатора подсоединяют последовательно с резистором сопротивлением 200 Ом одну из обмоток второго трансформатора, а к выводам второй обмотки этого трансформатора подключают идеальный амперметр переменного тока. Что покажет прибор? Р.Александров

Напоследок вопрос для самоконтроля. Остается ли в силе утверждение задачи в случае АВ = 1100 м? В.Произволов М1812. Натуральные числа а, b и с таковы, что
НОД a 2 - 1, b 2 - 1, c 2 - 1 = 1 .





Докажите, что

Ф1847. Говорят, что в архиве Снеллиуса нашли оптическую схему, на которой были изображены линза, предмет и его изображение. От времени чернила высохли, и остался только предмет на масштабной сетке (рис.5). Из Рис.5 текста следует, что предмет и изображение одинаковых размеров и формы, а главная оптическая ось линзы параллельна некоторым линиям масштабной сетки. Восстановите оптическую схему (изображение, линзу, фокусы).
А.Чудновский

НОД ab + c, bc + a, ca + b = НОД a, b, c .
(НОД наибольший общий делитель.) Рассмотрим произвольное простое число р и докажем, что оно входит в НОД ( ab + c, bc + a, ca + b ) и НОД ( a, b, c ) в равной степени. Заметим, что если НОД ( a, b, c )M p , то степень вхождения р в оба НОДа равна наименьшей степени вхождения р в числа а, b, c (если НОД ( a, b, c )M pk , но с не делится на p k +1 , то ab + c делится на pk , но не делится на p k +1 ). Поэтому достаточно доказать, что любой простой делитель q числа НОД ( ab + c, bc + a, ca + b ) делит НОД ( a, b, c ) . Пусть, скажем, а не делится на q, тогда, поскольку bc + a не делится на q, получаем, что b не делится на q и с не делится на q. Тогда

(

2 ab + c ) (bc + a ) - a (ab + c ) - c (bc + a ) = ac b - 1 M q . 2 b2 - 1 M q . Аналогично, a - 1 M q и это уже противоречие с тем, что

Решения задач М1811М1815, Ф1823Ф1832
М1811. Два джентльмена одновременно начинают прогулку из пунктов А и В, чтобы завершить ее, соответственно, в пунктах В и А (см. рисунок). В каждый ) * 1000м момент времени скорости джентльменов равны по величине. Между А и В 1000 м, через каждые 100 м от аллеи АВ отходит боковая аллея длиной 100 м. Поравнявшись с боковой аллеей, джентльмен может пройти по ней тудаобратно либо ее проигнорировать. Докажите, что встреча джентльменов неизбежна. Будем называть джентльменов А и В по обозначениям концов аллеи, из которых они вышли. Гипотетическая возможность не встретиться и разминуться скрывается в наличии боковых аллей. Можно предположить, что пока джентльмен В находится где-то на боковой аллее, джентльмен А 'проскакивает' ее начало по главной аллее. Зафиксируем этот предполагаемый момент времени t0 . К моменту t0 джентльмен А пройдет по парку 100k метров, k целое число. Столько же, ввиду равенства скоростей, пройдет джентльмен В. Значит, джентльмен В в момент t0 будет находиться либо в начале, либо в конце боковой аллеи. Если он в начале боковой аллеи, то произошла встреча в момент t0 . Если В находится в конце боковой аллеи, то это означает, что джентльмен А может переместиться из пункта А в пункт В, пройдя 100k + 100(k 1) = 100(2k 1) метров по парку. Но переместиться из А в В джентльмен А может, лишь пройдя по парку 100m метров, где m непременно четное число. Значит, встреча джентльменов неизбежна.
5 Квант ? 5

Стало быть,



с2 - 1 M q

НОД a2 - 1, b2 - 1, c2 - 1 = 1 . Значит, НОД (ab + c, bc + a, ca + b ) = НОД (a, b, c ) . А.Голованов

(



(

)

(

(

)

)

)

М1813. Фигура F ограничена полуокружностью и двумя четвертушками окружности того же радиуса (рис.1). а) Разрежьте F на три части так, чтобы из них можно было сложить квадрат. б) Разрежьте F на четы. ре части так, чтобы одна из них являлась квадратом, а из трех других можно было сложить второй такой же квадрат. а) Это делается просто. Рис.1 На рисунке 2 показано разрезание фигуры F на части и складывание из них квадрата. Два сегмента отрезаются от F и приставляются иначе к оставшейся части в результате получаем квадрат.


!

.

!

Рис.2