Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/05/09.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:03 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:10:11 2012 Кодировка: Windows-1251

КИНЕМАТИКА

В

ПЛАНИМЕТРИИ

9

C N



C

M B

A
Рис. 2

K

Решение. Заметим, что в результате повоuuuu r рота вектора AC на 45њ вокруг точки А точка С переходит в точку C1 , лежащую на диагонали квадрата, построенного на стоuuuuu uuuu 45o r r роне АС: AC1 = AC . В результате поворота вектора длина его не меняется, а потому
1 2

1 , то AN = ACl 2 uuuu r r r 1 uuuuu 1 uuuu 45o AC1 = AC . да имеем, что AN = 2 2 uuuuu r u 1 uuuur Аналогично получаем, что BM = BC1 = 2
AC1 = AC. Так как AN = AC

. Отсю-

Начнем двигать точку С по плоскости, оставив сторону АВ неподвижной. Проследим, что будет происходить при этом с центрами построенных квадратов точками N и М. В процессе движения точки С (согласно 13 o) будет выполняться равенство
r 1 r 45o VN = V. 2C

r 1 uuuu BC 2

45

.

будем называть ее поC люсом) для начала радиусов-векторов (такой точкой оказалась L точка K). Перейдем теперь к решению более общей K задачи. Задача 2 (теорети ческая). Пусть нам дан треугольник АВС, A B АВ = с. Пусть отреРис. 4 зок A L расположен так, что LAC = и AL : AC = m, а отрезок BK так, что KBC = и BK : BC = n (рис.4). (На этом рисунке углы , положительны для определенности, на самом деле это не принципиально.) Пусть точкаu O1 произвольuuu r r uuuuu r r ная точка плоскости. Обозначим OL = rL , OK = rK . 1 r r1 Требуется найти соотношение между rL и rK через r r m, n, , , точнее, выразить rL через rK и эти параметры. uuuu r uuur Решение. Вектор AL является образом вектора AC r в результате поворота его на угол и умножения на число m. Таким образом,
uuur uuuu r AL = m AC . uuuu r uuuu r BK = nBC .

(1)

(2)

(В последнем равенстве радиусы-векторы имеют начало в точке А.) Аналогичными рассуждениями, взяв начало в точке В, получаем, что VM =
r

Аналогично,

r r 1 r -45o 45 VC , откуда VC = 2VM . M 2 r Подставив полученное выражение для вектора VC в равенство (1 ), выводим (используя 5 o), что

(3) Теперь закрепим вершины А, В треугольника АВС и r будем двигать точку С r со скоростью VC . Скорости r точек K и L обозначим VK , VL соответственно. Из (2) и (3) получаем такие равенства:
r r VL = mVC , r r VK = nVC .

(4) (5) (6)

Иллюстрация П.Чернуского

Из этого равенства следует (согласно 14 o), что r r r r 90o rN = rM + R , где R некоторый постоянный вектор, т.е. вектор, который не меняется при движении точки С. Поэтому, если при некотором положении точки С rr rr окажется, что R = 0 , то R = 0 и при любом другом r r 90o положении точки С, а тогда rN = rM также при любом положении точки С. Поместим точку С в положение, когда C она является вершиN M ной равнобедренного прямоугольного треугольника ВСА (рис.3). Тогда, очеK B A видно, центры квадРис. 3 ратов точки М и N и середина отрезка АВ точка K являются вершинами равнобедренного прямоугольного треугольr r 90o ника NKM, т.е. rN = rM (если за начало радиусоввекторов принять точку K). rСледовательно, в этом r положении точки С имеем R = 0 , а по сказанному rr выше R = 0 при любом положении точки С. Но тогда треугольник NKM равнобедренный прямоугольный также при любом положении точки С. Прежде чем двинуться дальше, отметим, что важную роль здесь сыграло нахождение 'хорошей точки' (мы
3 Квант ?5

r 1 VN = 2

(

r 45o 2VM

)

45o

r9 o = VM0 .

Из (5) получим, что

получим

r Подставим полученное в (6) значение для VC в (4) и
r r m r 1 r- VL = mVC = m VK = VK n n -

r 1 r - VC = VK . n

.

(7)

Переходя к соотношению между радиусами-векторами, получим (используя 14 o )
r m r - r rL = rK + R . n

(8)

Тем самым мы решили поставленную задачу нашли r r соотношение между векторами rL и rK . Так как постоr янный вектор r R зависит от выбора начала радиусовr векторов rL , rK , то попытаемся подходящим выбором начала обратить этот вектор в нулевой. Тогда, если удастся найти такую 'хорошую точку', формула (8) примет вид
r m r - rL = rK . n

Иначе говоря, если нам удастся обратить постоянный r вектор R в нулевой (за счет выбора начала радиусоввекторов в некоторой точке Р, которую мы будем называть полюсом), то в любой момент времени, т.е. при любом положении точки С, отрезок KL будет виден из полюса Р под углом - , а отрезки PL и PK