Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/05/kv0502varlamov.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:01 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:36:47 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: вторая космическая скорость

ШКОЛА

В

'КВАНТЕ'

29

взял производную по времени от выражения (2) и приравнял ее к нулю: s a v? =- 2 + = 0 . 2 t Отсюда он нашел время: 2s t= a и, подставив это выражение в формулу (2), получил такой же ответ, как и ребята. Молодец у меня брат, да и друзья его тоже молодцы! подумал он. На следующий день ребята гордо показали учителю свои решения. Учитель их похвалил. Молодцы! Вы не только получили решение, но и рассмотрели различные методы решения задач на минимум. Ты, Коля, преобразовал выражение к виду, для которого мы знаем минимум. Ты, Петя, рассмотрел область допустимых значений выражения. Ты, Саша, проанализировал решение графически и нашел точки касания графиков. Ну а твой брат, Саша, предложил способ решения с помощью производной. Он наиболее универсален, но иногда другие методы проще

для вычислений. Я же могу предложить еще один способ. Давайте перейдем в систему отсчета, которая связана с мальчиком. В этой системе начальная скорость открытой двери равна v, ее начальная координата s, ускорение а, и поэтому зависимость координаты открытой двери x1 от времени имеет вид at 2 . (3) x1 = s - vt + 2 Условием того, что мальчик добежит до двери, будет равенство
x1 = 0 ,

т.е. в этот момент парабола (3) пересечет ось абсцисс на координатной плоскости x1, t . Но наименьшая скорость соответствует случаю, когда парабола коснется оси t . Вам остается только найти выражение для координат вершины параболы и приравнять x1 к нулю. Но это вы должны будете проделать самостоятельно и сравнить с вашими ответами. А метод, который использовал я, можно назвать методом перехода в другую систему отсчета.

Снежинки и ледяные узоры на стекле
С.ВАРЛАМОВ

В

вать снежинки или ледяные узоры на окнах. Лед в этих случаях образуется непосредственно из пара. При медленной конденсации водяных паров молекулы воды образуют почти плоскую структуру (кластер), которая имеет осевую симметрию шестого порядка, т.е. при повороте на 60њ она переходит сам в себя. Заметим, что это только один из множества возможных способов объединения молекул воды в кристалл льда. На схематическом рисунке атомы кислорода в молекулах изображены синим цветом, атомы водорода красным. Хорошо видно, что некоторые места в структуре (они отмечены зеленым цветом) могут заполнить только молекулы воды, ориентированные не в плоскости рисунка, потому что к тому месту, где должен находиться отрицательно заряженный атом кислорода, уже обращены два атома водорода соседних молекул.
8 Квант ?5

СЕМ ВАМ, КОНЕЧНО ЖЕ, ПРИХОДИЛОСЬ РАЗГЛЯДЫ-

Заполнение этих мест молекулами при росте кристалла льда происходит с меньшей скоростью или вовсе не происходит (это связано с глубиной соответствующей потенциальной ямы для этого места). Поперечные размеры правильной снежинки отличаются во много раз, т.е. отношение диаметра снежинки к ее толщине может достигать нескольких десятков. Это отношение характеризует скорость роста снежинки в соответствующем направлении. При росте кристалла возможны разные способы (последовательности) заполнения энергетически выгодных позиций, что обеспечивает получение кристаллов (снежинок) разной формы. Реализация конкретного способа роста случайное событие, поэтому совершенно одинаковые по форме снежинки встречаются крайне редко. Попробуйте продолжить построение нарисованного кластера, и вы сразу увидите, как появляются возможность разветвления: достаточно увеличить радиус кластера на величину, соответствующую диаметру одной шестиугольной соты, и возникает очередное ветвление. Давайте оценим сверху количество N возможных вариантов форм наших гипотетических снежинок-кластеров радиусом R = 2 мм. Размер соты имеет порядок величины D = 6 10 -10 м. Отношение R/D равно степени двойки (ветвления):
R D 3, 3 106 , и N 23300000 101000000 .

Конечно, это фантастически завышенная оценка. Дело в том, что реализация того или иного направления при ветвлении имеет разную вероятность. Связано это с тем, что взаимодействуют не только соседние молекулы, но и молекулы, удаленные друг от друга на значительные расстояния. Условия конденсации пара и превращения его в лед на поверхности стекла отличаются от условий, при которых в воздухе образуются снежинки. Внутри помещения влажность воздуха обычно существенно меньше 100%, но вблизи холодной поверхности оконного стекла температура может оказаться гораздо ниже точки росы при данной концентрации молекул воды в воздухе. И на стекле появится лед. Вид узора на поверхности стекла зависит от большого набора параметров. Перечислим некоторые из них: температура внутри помещения и температура снаружи, влажность


30

КВАНT 2002/?5

воздуха в помещении, толщина стекла и загрязненность его поверхности, наличие и скорость воздушных потоков вблизи стекла (в частности, наличие или отсутствие щелей в оконной раме или трещин в стекле) и т.д. Замечательные ледяные узоры часто образуются зимой на стеклах автобусов или троллейбусов. При этом слой льда может достигать нескольких миллиметров. Источником водяного пара является, разумеется, дыхание пассажиров. Сначала на поверхности стекла образуется водяная пленка толщиной в несколько диаметров молекул. Молекулы воды в ней испытывают сильное влияние молекул поверхности стекла. Хотя вода в пленке переохлаждена, но возможности для превращения воды в лед не возникает. По мере увеличения толщины пленки и уменьшения влияния молекул поверхности стекла в воде возникают центры кристаллизации. Рост кристаллов происходит во всевозможных направлениях, но самые большие кристаллы растут вдоль поверхности стекла. Скорости роста кристалла в различных направлениях тоже существенно различаются. Можно повторить, что взаимное

влияние соседних и удаленных друг от друга молекул определяет вероятность заселения той или иной 'вакансии' в растущем кристалле. С этим, по-видимому, связана форма (степень кривизны) растущих на поверхности стекла ледяных узоров. Когда толщина ледяного панциря на стекле становится настолько большой, что отвод тепла наружу замедляется, кристаллы льда начинают расти в перпендикулярном стеклу направлении. Стекло как бы покрывается шубой из ледяных иголок. Скоро наступит зима, и вы сможете легко убедиться в том, что снежинки действительно имеют разнообразные симметричные красивые формы. Сама снежинка, можно сказать, представляет собой застывший случайный процесс. А если, сидя в автобусе возле покрытого морозными узорами стекла, вы сможете своим теплым дыханием 'продышать' во льду окошечко для наблюдения, обратите внимание на то, как быстро это окошко вновь зарастает льдом кристаллы льда растут быстрее, чем движется минутная стрелка ваших наручных часов.

Сколько стоит запуск спутника?
В.ЛАНГЕ

Р

Земли по сравнительно низкой круговой орбите, во всех точках которой ускорение силы тяжести можно считать равным его значению вблизи земной поверхности, т.е. g = 9, 8 м с2 . Учитывая, что центростремительное ускорение спутнику сообщает сила притяжения к Земле:
mv2 = mg , R

АССМОТРИМ СПУТНИК, ОБРАЩАЮЩИЙСЯ ВОКРУГ

при тарифе, например, 56 копеек за 1 киловатт-час запуск спутника должен, казалось бы, стоить всего около 480 рублей! Почему же на самом деле затраты на осуществление космических программ соизмеримы с национальными бюджетами небольших стран? Разгадка парадокса состоит в том, что полученное нами значение энергии, 870 кВт ч , необходимо, но совершенно недостаточно для запуска спутника массой 100 кг на околоземную орбиту. Поскольку ракета как тепловая машина обладает крайне низким коэффициентом полезного действия, фактические затраты энергии оказываются во многомного раз больше. Дело в том, что наряду с полезным грузом приходится поднимать также горючее, необходимое для непрерывной работы двигателей. Правда, ракета 'худеет' очень быстро, но для сообщения ей желательной скорости нужно сжечь колоссальные количества топлива, что сильно снижает КПД. Для вывода формулы, связывающей массу и скорость ракеты, примем сначала, что топливо сгорает отдельными порциями массой M = M N , где М масса ракеты перед выбросом из нее порции M , а N достаточно большое число. После сгорания первой порции масса ракеты станет равной
M1 = M0 - M0 1 = M0 1 - . N N

где m масса спутника, v его скорость, R радиус Земли, находим кинетическую энергию спутника:
Ek = mv2 mgR . = 2 2

После сгорания второй порции масса вновь уменьшится на (1/N)-ю часть, но уже от M1 , и станет равной
1 M2 = M1 1 - N 1 = M0 1 - N .
2

Для оценки потенциальной энергии спутника, движущегося по низкой орбите, используем приближение

Ep = mgH ,
где высота орбиты H = R . Сравнивая два последних выражения, мы видим, что потенциальная энергия спутника на низкой орбите намного меньше его кинетической энергии, которую, таким образом, можно считать практически равной полной энергии спутника Е. Найдем ее, положив m = 100 кг и R = 6, 4 106 м :
E = 0, 5 100 кг 9,8 м с2 6,4 106 м =

Рассуждая таким же образом далее, находим массу ракеты после сгорания n-й порции топлива:

1 Mn = M0 1 - . N

n

(1)

= 3,1 109 Дж = 870 кВт ч .

Рассмотрим теперь, как меняется при этом скорость ракеты. При скорости истечения продуктов горения, равной u, масса M уносит импульс p = uM . В соответствии с законом сохранения импульса такой же по величине, но противоположно направленный импульс получит ракета, в результате чего ее скорость увеличится н а p ( M - M ) = (u M ) ( M - M ) . Таким образом, если