Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/04/kv0402probl.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:00 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:33:35 2012 Кодировка: Windows-1251

$

КВАНT ЗАДАЧНИК

2002/?4

'КВАНТА'

Задачи по математике и физике
Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач из этого номера следует отправлять не позднее 1 ноября 2002 года по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, 'Квант'. Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. На конверте в графе 'Кому' напишите: 'Задачник 'Кванта' ?4 2002' и номера задач, решения которых Вы посылаете, например 'М1826' или 'Ф1833'. В графе 'От кого' фамилию и имя просим писать разборчиво. В письмо вложите конверт с написанным на нем Вашим адресом и необходимый набор марок (в этом конверте Вы получите результаты проверки решений). Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с Вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: 'Задачник 'Кванта', новая задача по физике' или 'Задачник 'Кванта', новая задача по математике'). В начале каждого письма просим указывать номер школы и класс, в котором Вы учитесь. Задачи М1826, М1829 и М1830 предлагались на LXV Московской математической олимпиаде. Задачи Ф1833 Ф1837 предлагались на Московской физической олимпиаде этого года.

Задачи М1826М1830, Ф1833Ф1837
М1826. Про положительные числа а, b, с известно, что 1 a + 1 b + 1 c ? a + b + c . Докажите, что a + b + c ? ? 3abc .

С.Злобин

ральных чисел каждое число, начиная с 2002-го, является делителем суммы всех предыдущих чисел. Докажите, что в последовательности найдется число, начиная с которого каждое число равно сумме всех предыдущих чисел. А.Шаповалов

М1827. Пусть Q произвольная точка окружности с диаметром АВ, QH перпендикуляр, опущенный на АВ. Точки С и М это точки пересечения окM ружности с центром Q и радиусом QH с первой Q окружностью. Докажите, что прямая СМ делит C радиус QH пополам A B (рис.1). H В.Дубов М1828. А, Б, В, Г и Д собирают почтовые марки. У А более 3/4 Рис.1 марок Б, у Б более 3/4 марок В, у В более 3/4 марок Г, у Г более 3/4 марок Д, у Д более 3/4 марок А. Докажите, что есть марка, которая имеется у каждого филателиста.
В.Произволов

Ф1833. Маленькую шайбу запустили по шероховатой горизонтальной поверхности со скоростью v0 = 5 м с . График зависимости v, скорости шайбы v от м/c пройденного ею пути 6 s изображен на рисунке 2. Какой путь 4 пройдет шайба до пол2 ной остановки, если ее запустить из той же точки в том же 0 3 6 9 s,м направлении со скоРис.2 ростью v1 = 4 м с ?
О.Шведов

М1829. Можно ли раскрасить все точки квадрата и круга в черный и белый цвета так, чтобы множества белых точек этих фигур были подобны друг другу и множества черных точек были подобны друг другу (возможно, с разными коэффициентами подобия)?
Г.Гальперин

М1830. В возрастающей последовательности нату-

Ф1834. В системе, изображенной на рисунке 3, прикрепленные к невесомым пружинам грузики при помощи нитей удерживаются на расстояниях L/2 от стенок, к которым прикреплены концы пружин. Длины обеих пружин в недеформированном состоянии одинаковы и равны L. m 2m Нити одновременно пережигают, после чего грузики сталкиваются и слипаются. Найдите 2L максимальную скорость, которую будут Рис.3


ЗАДАЧНИК

'КВАНТА'

%

иметь грузики при колебаниях, возникших после этого столкновения. Удар является центральным. Жесткости пружин и массы грузиков указаны на рисунке. Трением и размерами грузиков пренебречь. А.Якута

Ф1835. На рисунке 4 приведен график зависимости давления насыщенного пара некоторого вещества от температуры. Опp, ределенное колиусл.ед. чество этого веще6 ства находится в закрытом сосуде A 4 постоянного объе2 ма в равновесном состоянии, соот0 300 T,K ветствующем точ100 200 ке А на рисунке. Рис.4 До какой температуры следует охладить эту систему, чтобы половина имеющегося в сосуде вещества сконденсировалась? Объемом сконденсировавшегося вещества можно пренебречь по сравнению с объемом сосуда. С.Варламов Ф1836. При измерении зависимости величины напряженности электрического поля от времени в некоторой точке пространства был получен график, изображенный на рисунке 5. E Электрическое поле создается двумя E одинаковыми точечными зарядами, один из которых неподвижен и находится на расстоянии 3t 2t t 0 t 2t 3t t d от точки наблюдения, а другой двиРис.5 жется с постоянной скоростью. Найдите величины зарядов, минимальное расстояние от движущегося заряда до точки наблюдения и скорость движущегося заряда. О.Шведов
Ф1837. Катушка состоит из среднего цилиндра радиусом r и двух крайних цилиндров радиусами R > r. Длинный тонкий провод плотно наматывают на катушку следующим образом: сначала обматывают один из крайних цилиндров, а затем продолжают наматывать этот же провод на средний цилиндр в том же направлении, в каком начинали намотку. После завершения намотки катушку кладут на горизонтальный стол, помещенный в однородное постоянное магнитное поле В, линии индукции котоB рого параллельны оси катушки (рис.6). К одному концу провода, лежащему на столе, подсоединяют одну клемму идеального вольтметра, а другой v конец провода, касающийся неподвижного скользящего контакта, соедиV ненного со второй клемРис.6
5 Квант ? 4

мой вольтметра, начинают тянуть вдоль поверхности стола с постоянной скоростью v в направлении, перпендикулярном оси катушки. Считая, что катушка катится по столу без проскальзывания, найдите показания вольтметра. А.Якута

Решения задач М1801М1810, Ф1818Ф1822
М1801. Натуральное число n равно сумме некоторых трех различных натуральных делителей числа n 1. Найдите все такие числа.
Ответ: 13 и 31. Пусть n = x + y + z, где х, у, z натуральные делители числа n 1, причем x > y > z. Если х не превышает трети числа n 1, то два других делителя менее трети числа n 1 каждый, т.е. х + y + + z меньше n 1 и тем более меньше n. Поэтому

n -1 n +1 = y+z. , n-x = 2 2 n -1 Рассуждая аналогично, получим, что y = . 3 n + 5 n -1 Тогда z = . Таким образом, возникают > 6 6 n -1 n -1 две возможности: z = и z= . Решая урав4 5 нения x= n=
и

n -1 n -1 n -1 + + 2 3 4 n -1 n -1 n -1 + + , 2 3 5
С.Токарев

n=

получим два значения: n = 13 и n = 31.

М1802. План секретного объекта представляет собой квадрат размером 8 Ч 8, который разбит коридорами на квадратики 1 Ч 1. В каждой вершине такого квадратика есть переключатель. Щелчок переключателя меняет освещенность сразу всех коридоров длины 1, выходящих из этой вершины (в освещенных коридорах свет выключается, а в неосвещенных включается). Первоначально сторож находится в левом нижнем углу полностью неосвещенного объекта. Он может ходить только по освещенным коридорам и щелкать переключателями сколько угодно раз. а) Может ли сторож перебраться в верхний левый угол, погасив при этом свет во всех коридорах? б) Найдите все вершины квадратиков, в которые сторож сможет так перебраться.
а) Сторож может пройти по пути, показанному на рисунке, щелкнув по одному разу по всем попавшимся на пути выключателям. При этом он побывает в каждом узле сетки ровно один раз и в каждом коридоре один раз вклю-