Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/02/03.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:16 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:18:25 2012 Кодировка: Windows-1251

МАТЕМАТИКА

ВО

ВТОРОЙ

ПОЛОВИНЕ

XX

ВЕКА

3

Как это можно выразить? Одна из возможностей такова. Некоторые функции трех переменных можно задать как суперпозицию функций двух переменных; скажем, так: f x, y, z = x, y, z . (Напри-

b

g

d b gi

мер, функция

x2 + y2 + z

2

являет-

ся суперпозицией функций u u 2 и

v v одного переменного и функции сложения двух переменных.) Уверенный в том, что функции трех переменных не должны сводиться к функциям двух переменных, Гильберт в своей 13-й проблеме придал вопросу наиболее острую форму. Он выбрал одну определенную алгебраическую функцию трех переменных (именно, функцию, являющуюся решением полиномиального уравнения x, y, z w7 + xw3 + yw2 + zw + + 1 = 0) и спрашивал: нельзя ли ее выразить суперпозицией непрерывных функций двух переменных (полагая, что ответ должен быть отрицательным)? А он оказался положительным. История решения 13-й проблемы Гильберта чрезвычайно занимательна. Весной 1956 года А.Н.Колмогоров объявил на механико-математическом факультете МГУ спецсеминар для второкурсников, где начал обсуждать некоторые проблемы, имея в виду в отдаленной перспективе приблизиться к решению 13-й проблемы Гильберта. В этом семинаре принял участие второкурсник Дима Арнольд (так друзья называли в студенческие годы Владимира Игоревича). В нем он выполнил свою первую научную работу. Семинар проходил лишь в течение одного семестра, на нем было получено несколько интересных результатов, но проблема Гильберта виделась лишь в бесконечной дали. Однако уже после завершения семинара А.Н.Колмогорову несколько неожиданно даже для самого себя довелось сконцентрировать колоссальный импульс энергии на решении именно этой проблемы. В итоге примерно двухнедельного периода напряженнейших размышлений Колмогоров доказал, что всякая непрерывная функция четырех переменных является суперпозицией функций трех переменных. Об этом результате Колмогоров докладывал на III Всесоюзном математическом съезде летом 1956 года. Завершить эти иссле-

b

g

дования Колмогоров предоставил своим последователям. Прошло примерно полгода, и както весной 1957 года я оказался у Андрея Николаевича на его даче. Андрей Николаевич показал мне на ученическую тетрадь, на обложке которой было написано: 'Курсовая работа студента III курса В.Арнольда'. Колмогоров сказал: 'Я сейчас проверяю эту работу, но не исключено, что в ней содержится решение 13-й проблемы Гильберта'. Так оно и оказалось. Если соединить решения Колмогорова и Арнольда, то получится одно из самых сложных доказательств, когда-либо найденных в математике. Но на этом история не закончилась. Летом 1957 года Колмогорову удалось усилить результат Арнольда и доказать следующую теорему: любая непрерывная функция n переменных (заданная на единичном n-мерном кубе) представима в виде суперпозиции функций одного переменного и единственной функции двух переменных сложения. Сформулируем более точно этот результат в применении к функциям двух переменных. Пусть f непрерывная функция двух переменных, заданная на единичном квадрате Q = x, y | 0 x, y 1 . Тогда она представима в виде
f

y

Q Q


Q



O ` # `



O

O" O! O Q x " # " # 1 " # 2 ! !" # 3 "

0

nb g s bx, yg = c b xg + bygh
5 i i i i =1

,

где i , i и i непрерывные функции одного переменного.
Доказательство общей теоремы, относящейся к функциям n переменных, вполне иллюстрируется двумерным случаем. Приведем эскиз доказательства сформулированной выше двумерной теоремы. Оно складывается из трех этапов. 1. Построение системы квадратов. Рассмотрим на прямой систему S1 единичных отрезков i i Z , разделенных интервалами длины 1/5. Далее на плоскости рассмотрим декартово произведение системы S1 на самое себя (т.е. совокупность пар x, y , где x i , y j , i, j Z ). Получили как бы план города с горизонтальными и вертикальными проспектами одинаковой ширины (см. рисунок). Обозначив начало координат буквой O0 , рассмотрим еще точки Ok , 1 k 4 , с координатами k 4 , k 4 . Сдвинем теперь изначальный план города четыре раза так, чтобы начальные точки совпали с точками Ok , 1 k 4 . И наконец, совершим l раз подряд гомотетии всей картины с коэффициентом гомоте-

тии . В итоге получим систему квадратов kl Qij , i, j Z , 0 k 4 , l Z+ . Построение системы квадратов закончено. 2. Построение функций k и k . Эти функции не зависят от приближаемой функции f. Основное требование на эти функции состоит в том, чтобы функции k x, y = k x + k y разделяли любые два квадрата из l-й системы квадраkl тов, т.е. чтобы сегменты (Qij ) kl и k (Qij ) при (i, j ) (i, j ) не пересекались. Сделаем лишь первый шаг в построении наших функций, которые будем определять на всей плоскости. Мы имеем нуле00 вую систему квадратов Qij , состоящую из квадратов со стороной 4/5, у которой 'начальный' квадрат имеет вершиной начало координат. Построим непрерыв0 ную функцию i x, y , представимую в виде суммы двух функций одного переменного 0 x и 0 y , которая разделя00 00 ет квадраты Qij . Квадрат Qij является произведением двух отрезков: i на оси Ох и j на оси Оу. Сделаем так, чтобы 00 значения функции 0 x на квадрате Qij мало отличались от целого числа i, а значения функции 0 y на том же квадрате мало отличались от числа 2 j . Иначе говоря, включим точки i в сегменты i - i , i + i , а точки 2 j в сегменты 2 j - j , 2 j + j так, чтобы интервалы

bg

bg

bg

bg bg bg

bg bg

lq



00 ij

=
0

= i - i + 2 j j, i + i + 2 j +

bg

b

g

не пересекались. А далее функции x 0 и x достроим по линейности. Это и есть первый шаг, за которым индуктивно, но сходным образом, надо последовательно достраивать наши функции. 3. Завершение доказательства (построение функции k ). И снова сделаем лишь один шаг индуктивного построения. Пусть на единичном квадрате Q нам задана функция f x, y , а М =

bg

bg

j

bg

=

(

max f (x, y) . Построим функции x,y )Q

1*