Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/02/05.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:16 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:18:26 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: южная атлантическая аномалия

МАТЕМАТИКА

ВО

ВТОРОЙ

ПОЛОВИНЕ

XX

ВЕКА

#

на пространстве основных функций и есть пространство обобщенных функций. При этом 'обычные' функции вкладываются в совокупность обобщенных функций, ибо каждая такая функция g порождает линейный функционал
f x g x dx . А -функция Хеlf =
T

кого математика Хермандера, удостоенный филдсовской медали в 1962 году.

()

()()

Преобразование Радона, интегральная геометрия и томография
В 1917 году австрийский математик И.Радон получил формулу обращения для отображения, сопоставляющего функции f на плоскости функцию f на множестве всех прямых на плоскости, равную интегралам от f вдоль всех прямых. Это открытие имело большие последствия как в самой математике, так и в ее приложениях. Наиболее важным вне всякого сомнения оказалось приложение преобразования Радона к медицине, приведшее к рождению томографии методу исследования скрытых в организме образований (опухолей, внутренних кровоизлияний и т.п.), заключающемуся в получении послойного изображения объекта при его облучении. Информация об объекте (мозге, печени, почки и т.п. восстанавливается (с помощью компьютера) по вычислению пространственного распределния интенсивности излучения, прошедшего через объект, с помощью преобразования Радона. Томография, безусловно, одно из величайших технических завоеваний второй половины предыдущего века. Преобразование Радона оказалось путеводной звездой для исследований И.М.Гельфанда. Одной из великих задач, которые решались в XX веке, является задача о создании аналога ряда Фурье (гармонического анализа) для обобщений окружности для многообразий, на которых действует группа преобразований (типа сферы, плоскости Лобачевского и т.п.). Аналог рядов Фурье на сфере был создан еще в XVIII веке (Лапласом, Лежандром и др.). Гармонический анализ на плоскости Лобачевского был создан лишь в сороковые годы XX века. А в пятидесятые годы Гельфанд со своими учениками открыл, что единым ключом к построению гармонического анализа являются преобразования типа преобразований Радона.

висайдаДирака это не что иное, как функционал, сопоставляющий основной функции ее значение в некоторой точке. И пространство основных функций, и пространство обобщенных функций на окружности допускают другое (двойственное) описание через ряды Фурье. Каждая бесконечно дифференцируемая функция f разлагается в ряд Фурье

fx=

bg

+

fk e

ikx

. При этом коэффициен-

ты Фурье убывают 'быстрее любой степени' (это значит, что для любого целого числа m найдется константа Cm такая, m что fk Cm k ). А обобщенные функции это формальные ряды l x = =
k =-

k =-



+

bg

lk e

ikx

, где l

k

растут 'не быстрее

некоторой степени' (т.е. существуют такие числа N и С, что lk C k ). Каждый такой ряд порождает функционал l f
N

b g =

+

lk fk . В частности, функ-

ционалу, соответствующему -функции в нуле, соответствует формальный ряд

k =-

XIX веке Хевисайд.

k =-



+

e

ikx

. Именно его и выписывал еще в

В 1958 году Гельфанд со своими учениками и коллегами осуществил издание серии монографий 'Обобщенные функции', явившейся одним из самых замечательных произведений математической литературы прошлого (XX) века. Первые три тома серии были написаны И.М.Гельфандом и Г.Е.Шиловым. Они были посвящены общим проблемам теории обобщенных функций и теории дифференциальных уравнений. Обобщенные функции оказались исключительно удачным аппаратом для теории дифференциальных уравнений обыкновенных и с частными производными. Результаты, относящиеся к теории дифференциальных уравнений (особенно линейных), сыпались в пятидесятыешестидесятые годы, как из рога изобилия. Здесь, помимо исследований Гельфанда и Шилова, надо назвать замечательный цикл работ шведс2 Квант ?2

вины двадцатого века явилось построение теории солитонов. Солитоны это тип волн, обладающих весьма неожиданными свойствами. Уже сама первая встреча с такой 'неожиданной волной' произвела на первооткрывателя необычного феномена английского исследователя Джона Скотта Рассела неизгладимое впечатление. Он увидел (после внезапной остановки баржи, плывшей по каналу) волну, которая приняла 'форму большого одиночного возвышения, т.е. округлого, гладкого и четко выраженного водяного холма, который продолжал свой путь вдоль канала, не меняя своей формы и не снижая скорости'. Подобные 'уединенные' (solitary) волны стали называть солитонами: в этом названии как бы соединены понятия одинокой волны и частицы (типа электрон, протон и т.п.). Теория подобных феноменов была дана физиками и математиками лишь в наше время. Они оказались связанными с нелинейными волновыми уравнениями, типа уравнений Кортевегаде Фриса, открытых век тому назад для описания поведения волн на 'мелкой воде'. Теория таких уравнений связана со скрытой симметрией, в них заключенной, и с обратными задачами в теории дифференциальных уравнений, которые рассматривались в начале пятидесятых годов Гельфандом, Левитаном и др. Солитонам посвящена замечательная книжка А.Т.Филиппова 'Многоликий солитон', изданная в Библиотечке 'Квант' (вып. 48).

Теория катастроф
Одним из фундаментальных философских принципов является знаменитый принцип 'перехода количества в качество', явившийся существенным компонентом гегелевской диалектики. В недавние времена им мотивировалась неизбежность революций. Вот цитата из старого энциклопедического словаря: 'Метод диалектики по самому существу своему революционен (Герцен назвал его 'алгеброй революции'), ибо из него неизбежно вытекает, что развитие в природе и обществе приводит к скачкам'. В наше время появилась математическая теория, описывающая явления, 'приводящие к скачкам'. Не лишено забавности то, что этот раздел математики получил название не 'теории революций', а 'тео-

Солитоны
Одним из самых замечательных событий в математике второй поло-