Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/01/41.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:13 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:22 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: южная атлантическая аномалия

ФИЗИЧЕСКИЙ

ФАКУЛЬТАТИВ

41
расстоянии x от точки, лежащей посередине между ними (рис.8), и найти поверхностную плотность зарядов:

a R q L
G G `G `G

= 0E =

2 x + a

Рис. 7

б

q

q

l

Рис. 5

q = - qR L и расположенного на расстоянии l = R2 L от центра шара.
Тождественное совпадение этих двух полей следует из утверждения, что эквипотенциальная поверхность с = 0 для поля зарядов q и q совпадает с поверхностью шара. Убедимся в этом. Возьмем произвольную точку A на поверхности шара (рис.6) и обозначим через r1 расстояние от

ется двумя зарядами q и q (рис.7), расположенными симметрично относительно центра шара на большом от него расстоянии ( L R ). Величину зарядов надо выбрать таким образом, чтобы создаваемая ими в центре шара напряженность была равна E0 : 2q = E0 . 2 4 0 L Поле наведенных зарядов в пространстве вне шара будет совпадать с полем двух точечных зарядов q и - q , где q = qR/L, расположенных на рас2 стоянии l = R L от центра. Два заряда-изображения образуют диполь с дипольным моментом, равным

В случае шара в однородном поле надо вычислить полное поле, равное сумме однородного внешнего поля и поля точечного диполя (см. Приложение) возле поверхности сферы. Попробуйте сделать это самостоятельно.
Как убедиться в справедливости формулы (4)? Проще всего это сделать с помощью теоремы Гаусса (кто с ней знаком), но можно обойтись и без нее. Представим поле вблизи поверхности в виде суперпозиции двух полей (рис.9): поля E1 , созданного малым близлежащим участком поверхнос-

e

qa
2 2

j

32

.



-

p = q 2l =

2 qR L
2

3

= 3V 0 E0 ,
Рис. 9 ти, которое можно считать равным полю бесконечной плоскости E1 = 2 0 (в пределе, когда расстояние до поверхности мало по сравнению с размером этого участ ка), и поля остальных зарядов E2 . Внутри проводника эти два поля должны сократить друг друга, поэтому E2 = E1 = = 2 0 . Вне проводника эти напряженности складываются, откуда и получается формула (4). Конечно, может возникнуть вопрос: а как (без теоремы Гаусса) получить формулу E = 2 0 для напряженности бесконечной равномерно заряженной плоскости, на которую опирается этот вывод? Можно сделать это, рассмотрев поле равномерно заряженной сферы, которое совпадает (вне сферы) с полем точечного заряда, а вблизи поверхности равно 0 . Если провести такое же рассуждение, как выше, но в обратном порядке, то получим искомую формулу.

A r B q C
G

r l

R O

Рис. 6 нее до заряда q (точка B), а через r2 расстояние до заряда q (точка C). Поскольку AO : OC = R/ l = L/ R = = BO : OА, треугольник AOC подобен треугольнику BOA. Значит, для любой точки А отношение r1 r2 равно L/R и потенциал A = kq r1 + kq r2 равен нулю (напомним, что q = - qR L ).

bg

Иначе говоря, поле, создаваемое наведенными зарядами вне шара, совпадает с полем одного точечного заряда q .

Пример 3. Точечный заряд и заряженный шар. Если в условии предыдущего примера заменить заземленный шар на заряженный зарядом Q, то к заряду-изображению q необходимо добавить второй заряд-изображение q = Q q , помещенный в центр шара. Каким же образом можно использовать метод электростатических изображений в случае проводящего шара в однородном поле? Поскольку результат не должен зависеть от того, какая система зарядов является источником поля E0 , будем считать, что оно созда-

что совпадает с формулой (3). Если рассмотреть предельный переход, при котором заряды удаляются на бесконечность, но одновременно их величина меняется так, что напряженность поля остается равной E0 , то поле будет стремиться к однородному, а диполь будет стремиться к точечному (при сохранении дипольного момента). Остается ответить на вопрос: как в рамках метода электростатических изображений найти не только поле наведенных зарядов, но и их распределение по поверхности? Это можно сделать с помощью соотношения, связывающего напряженность поля у поверхности проводника с поверхностной плотностью заряда: E= . (4) 0 Например, в случае заряда и проводящей плоскости нетрудно вычислить напряженность поля зарядов q и q на

di

di

di

Метод наложения шаров
Последний из рассматриваемых здесь подходов к решению задачи о проводящем шаре в однородном поле дает наиболее полное, и притом достаточно простое, ее решение. Как и раньше, мы разобьем изложение этого метода на несколько последовательных этапов, каждый из которых представляет свою интересную задачу. 1. Равномерно заряженный шар. Рассмотрим шар радиусом R, равномерно заряженный с объемной плот-

q

a x

a

q E

Рис. 8