Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/01/45.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:13 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:14:16 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: релятивистское движение

ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

45
энергию

ти материальных точек в лабораторной системе отсчета равна сумме кинетической энергии всей массы системы, мысленно сосредоточенной в ее центре масс и движущейся вместе с ним, и кинетической энергии той же совокупности материальных точек в ее относительном движении в системе центра масс. Теперь приступим к решению зада чи. Обозначим через p0 импульс частицы до столкновения. Кинетическая энергия движения центра масс системы
2 MV2 p0 = = 2 2 mHe + mN

нием энергии возбуждения к энергии покоя атома водорода. При выводе учтено, что в числителе стоит величина, на много порядков меньшая, чем в знаменателе. Это подтверждает нерелятивистское приближение, использованное в решении. Итак, при переходе атома водорода из основного состояния в первое возбужденное состояние атом начинает двигаться со скоростью
vc E12 mc
2

h

12

= hR

FG H

1 1

-

1 4

IJ K

=

3 4

hR =

E

пор

2

,

где R постоянная Ридберга. При ионизации электрон переходит с первого уровня на бесконечность; следовательно, энергия ионизации

Eи = hR.
Из полученных соотношений находим

3,3 м с .

c

h

=

mHe
N

mHe + m

Eпор

Второй способ решения. При записи законов сохранения энергии и импульса воспользуемся релятивистскими формулами для энергии и импульса:

Eпор =

3 2

Eи = 20,4 эВ .

не изменяется при ядерной реакции, так как импульс замкнутой системы сохраняется и поэтому указанная энергия не участвует в ядерных превращениях. Тогда искомую энергию найдем из условия mHe Eпор , Eпор = Q + mHe + m N откуда

mc +
h

2

hc
=

=

mc 1-v
mv

2

2

c

2

,

. 2 2 1-v c Далее, разделим второе соотношение на первое и получим
v=c hc mc + hc
2

Задача 6. Рентгеновский фотон сталкивается с неподвижным электроном и отражается в обратном направлении. Найдите приращение длины волны фотона в результате рассеяния. При энергиях в сотни тысяч электронвольт необходим учет релятивистских эффектов. Законы сохранения энергии и импульса принимают вид

mc +

2

hc
0

=

mc

2 2

1- v c

2

+

hc

,

.

Eпор =

mHe + m m
N

N

, Q = 145 МэВ .

Заметим, что минимум кинетической энергии бомбардирующей частицы достигается в случае, когда продукты реакции покоятся в системе центра масс. Задача 4. Неподвижный невозбужденный атом водорода поглощает фотон. В результате атом переходит в возбужденное состояние и начинает двигаться. Найдите величину v скорости, с которой стал двигаться атом после поглощения фотона. Энергия возбуждения атома -18 водорода E12 = 1,63 10 Дж, энер-10 2 гия покоя mc = 1,49 10 Дж. Указание. При x ? 1 можно счи тать, что 1 + x 1 + x . Первый способ решения. Поглощение фотона атомом является типичным неупругим столкновением. Из законов сохранения энергии: hc mv2 = E12 + 2 и импульса: h = mv находим искомую скорость:

Энергия поглощаемого фотона много меньше энергии покоя атома, поэтому выражение можно представить в виде
vc hc mc
2

mv h h = + , 2 2 0 1- v c

=c

E12 mc

2

.

b

g

Задача 5. На неподвижный невозбужденный атом водорода налетает другой невозбужденный атом водорода. Какова минимальная кинетическая энергия налетающего атома, при которой в результате столкновения может излучиться фотон? Энергия ионизации атома водорода 13,6 эВ. Налетающий атом передаст на ионизацию максимально возможную энергию при таком неупругом столкновении, когда оба атома в системе центра масс будут покоиться. Кинетическая энергия движения центра масс системы, равная
2 m1 + m2

где m масса электрона, 0 и длины волн фотона. Умножим второе равенство на с, сложим его с первым и вычтем его из первого равенства. Перемножив полученные соотношения, найдем h = - 0 = 2 = 4,84 10 -12 м . mc Заметим, что это вполне согласуется с экспериментальными данными.
Упражнения 1. Ядро лития возбуждается пучком протонов, падающим на неподвижную литиевую мишень. При этом происходит реакция
p + 7 Li p + 7 Li& .

c

p

2

h

=

p

2

4m

=
p

E

пор

2

v=c

которая определяется только отноше-

F GH

1+

2 E12 mc
2

-1 c

I JK

E12 mc

2

,

(где m p масса протона, а Eпор пороговая энергия), не изменяется при ядерной реакции, так как импульс замкнутой системы сохраняется и поэтому указанная энергия не участвует в ядерных превращениях. Фотон унесет минимальную энергию, если электрон в атоме водорода перейдет с первого уровня на второй. Для этого атом должен поглотить

При каких отношениях энергии налетающего протона к энергии возбуждения лития возможно возникновение протонов, движущихся в обратном к потоку направлении? 2. На неподвижный невозбужденный атом водорода налетает электрон. Какова минимальная кинетическая энергия E пор налетающего электрона, при которой в результате столкновения может излучаться фотон? Энергия ионизации атома водорода E и = 13,6 эВ. 3. Рентгеновский фотон сталкивается с неподвижным электроном и отражается в перпендикулярном направлении. Найдите приращение длины волны фотона в результате рассеяния.