Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/01/kv0101ovchin.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:12 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:34:47 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: релятивистское движение

ФИЗИЧЕСКИЙ

ФАКУЛЬТАТИВ

43
p1 = p cos (напомним, что r l), или в векторном виде p1 = r


E+ E2 E r

ет с дипольным моментом угол , поступим следующим образом. Соединим отрицательный заряд с точкой поля (рис.15), опустим из положительного заряда перпендикуляр на эту линию и мысленно поместим в основание перпендикуляра два заряда: q и q. Поскольку мы поместили их в одну точку, поле не изменилось, но мы получили вместо одного диполя два. У

FG p r IJ HK
2

r а p 2 = p sin , или в векторном виде p 2 = p - p1 .


,

Опираясь на формулы (9) и (10), можно вычислить параллельную и перпендику-

q
Рис. 14

l

q q

r

лярную вектору r составляющие поля:
E1 = 1 4
0



2 p cos r
3

b

g

, E2 =

1 4
0

p sin r
3

,

и когда точка поля лежит на перпендикуляре к дипольному моменту (рис.14):
E2 = 2E+ sin 1 2q l 2 1 ql = 4 0 r 2 r 4 0 r 3 ,


q

p1 q p

p2

а можно, подставив векторные выражения для p1 и p2 , получить ответ в векторном виде:


q
Рис. 15

l

или в векторном виде:
E2 = -


1 4
0

p
3

r

.

(10)

Теперь, чтобы найти напряженность поля в точке, для которой радиус-вектор образу-

одного из них дипольный момент p1 на правлен параллельно радиусу-вектору r , а у другого дипольный момент p 2 перпендикулярен




E=

1 4
0

F 3FG p r IJ GG H K GG r H
5



r



-

p
3

r

I JJ JJ K

.

r . Легко убедиться, что

ПРАКТИКУМ

А БИТУРИЕНТА
величина скорости протона уменьшилась на 10% (рис.1). Найдите массовое число химического элемента.
v
2

Законы сохранения в задачах на столкновения
А.ОВЧИННИКОВ, В .ПЛИС
ми понимают процессы кратковременного взаимодействия между телами в широком смысле слова, а не только как соприкосновение тел. Сталкивающиеся тела на большом расстоянии являются свободными. Проходя друг мимо друга, тела взаимодействуют между собой, в результате могут происходить различные процессы соединение тел, возникновение новых тел и т.п. Наконец, может иметь место упругое столкновение, при котором тела после некоторого сближения вновь расходятся без изменения своего внутреннего состояния. Столкновения, приводящие к изменению внутреннего состояния тел, называются неупругими.

m
Рис. 1

M v
1



В

ФИЗИКЕ ПОД СТОЛКНОВЕНИЯ-

Происходящие в обычных условиях столкновения обычных тел почти всегда бывают в той или иной степени неупругими уже хотя бы потому, что они сопровождаются некоторым нагреванием тел, т.е. переходом части их кинетической энергии в тепло. Тем не менее, в физике понятие об упругих столкновениях играет важную роль. В частности, с такими столкновениями приходится иметь дело в физическом эксперименте в области атомных явлений. Обсудим несколько конкретных задач. Задача 1. Протон, пролетая мимо первоначально покоившегося ядра неизвестного химического элемента, отклонился на угол = arccos (4/15), а

Взаимодействие частиц упругое; следовательно, импульс и энергия системы сохраняются: H mv1 = mv2 + M v , , 2 2 2 где m, v1 и v2 масса и скорости протона, М и v масса и скорость неизвестного ядра. Из закона сохранения импульса с помощью теоремы косинусов получаем
mv1
2

=

mv

2 2

+

Mv

2

b Mv g = cmv h + cmv h
2 2 1 2

2

-

2m 2v1v2 cos . Из двух последних соотношений по-


44
лучаем искомое массовое число:

КВАНT 2001/?1

A=

M m

=

1 + k - 2k cos 1-k
2

2

= 7,
v
2

где k =

v1

= 0,9 .

Следовательно, протон столкнулся с ядром лития. Задача 2. Каков максимальный угол упругого рассеяния -частицы в водороде? Масса атома водорода в 4 раза меньше массы -частицы. Первый способ решения. Проанализируем упругое столкновение в лабораторной (неподвижной) системе отсчета. Введем обозначения: m1 масса -частицы, v ее скорость до рассеяния, m2 масса атома водорода, v1 и v2 скорости -частицы и атома водорода, соответственно, после рассеяния. Взаимодействие упругое; следовательно, сохраняются импульс (рис. 2) mv
mv


Второй способ решения. В общем случае столкновение удобно рассматривать в системе центра масс сталкивающихся частиц (в системе, где их суммарный импульс равен нулю). Скорость центра масс нашей системы тел равна

Величина

v1 =
&

m2 v m1 + m2

V=



m1 v



m1 + m2

.

До столкновения импульс частицы массой m1 равен


p = m1 v -

FG H



I VJ K


=

m1m2 v



m1 + m2

,

а импульс частицы массой m2 равен - p. При упругом столкновении импульс и энергия взаимодействующей системы тел сохраняются. Так что если импульс первой частицы после столк новения обозначить p& , то импульс второй будет - p& . Из закона сохранения энергии, записанном в виде
p
2

определяет радиус окружности, на которой заканчивается вектор v1 . Из рисунка следует, что в случае m1 > m2 угол между векторами скоростей v и v1 налетающей частицы до и после столкновения не может превышать некоторого максимального значения , соответствующего случаю, когда v1 касается окружности, т.е. v1 m = arcsin & = 2 025 рад . , V m1 Задача 3. Первая искусственная ядерная реакция
14

N + He =

4

17

O+p



F GH

1 m1

+

1 m2

I JK

= p&

2

F GH

1 m1

+

1 m
2

I JK

,

находим
mv p = p&.

Рис. 2

и кинетическая энергия системы -частица атом водорода:

m1v = m1v1 cos + m2 v2 cos , m1v1 sin = m2 v2 sin ,
m1v 2
2

=

m1v1 2

2

+

m2 v 2

2 2

.

Исключив из этих соотношений угол и скорость v2 , получим относительно v1 квадратное уравнение

c

m1 + m2 v1 - 2m1v cos v1 +

h

2

Таким образом, единственное, что происходит в рассматриваемой системе при столкновении, это поворот импульсов частиц, т.е. изменение их направления без изменения величины. Вместе с импульсами так же изменяются и скорости обеих частиц. Угол поворота зависит от конкретного характера взаимодействия частиц и от их взаимного расположения при столкновении. При переходе в лабораторную систему отсчета воспользуемся правилом сложения скоростей. В соответствии с ним, скорость налетающей частицы после столкновения равна


наблюдалась Резерфордом в 1919 году. Она идет с поглощением энергии Q = = 1,13 МэВ. Какую минимальную кинетическую энергию Eпор следует сообщить в лабораторной системе отсчета -частице, чтобы при бомбардировке неподвижной мишени из азота указанная реакция могла произойти? Пороговой энергией Eпор , или порогом ядерной реакции, называют такую энергию налетающей на неподвижную мишень частицы, начиная с которой ядерная реакция становится возможной. Сначала небольшое отступление. Найдем связь кинетических энергий Ek и Ek& системы материальных точек в лабораторной системе отсчета и в системе центра масс соответственно. По закону сложения скоростей, для каждой i-й материальной точки


v i = V + v i& ,







+ m1 - m2 v = 0 . Корни этого уравнения будут вещественными при sin m2 m1 . Максимальный угол , удовлетворяющий этому условию, и есть искомый угол . Таким образом,
= arcsin m2 m1 025 рад . ,

c

h

2

v1 = V + v1 , &







где V скорость центра масс системы. Тогда кинетическая энергия системы материальных точек в лабораторной системе равна

где v1 ее скорость в системе центра & масс. На рисунке 3 из одной точки
v


Ek =
=


2

mi v 2
+

2 i

=


2

mi V + v 2


FG H



i&

IJ K

2

=


V

v



* v



mi V

2


i&

mi v

2 i&

+V



mi vi&.

Сумма

Заметим, что рассеяние на максимальный угол возможно только при условии, что масса налетающей частицы больше массы покоящейся.

Рис. 3

она определяет скорость центра масс в системе центра масс. Таким образом,




mi v

равна нулю, так как

отложены векторы V скорость цен тра масс системы и v скорость налетающей частицы до столкновения.

Ek =

MV 2

2

+ Ek&,

т.е. кинетическая энергия совокупнос-


ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

45
энергию

ти материальных точек в лабораторной системе отсчета равна сумме кинетической энергии всей массы системы, мысленно сосредоточенной в ее центре масс и движущейся вместе с ним, и кинетической энергии той же совокупности материальных точек в ее относительном движении в системе центра масс. Теперь приступим к решению зада чи. Обозначим через p0 импульс частицы до столкновения. Кинетическая энергия движения центра масс системы
2 MV2 p0 = = 2 2 mHe + mN

нием энергии возбуждения к энергии покоя атома водорода. При выводе учтено, что в числителе стоит величина, на много порядков меньшая, чем в знаменателе. Это подтверждает нерелятивистское приближение, использованное в решении. Итак, при переходе атома водорода из основного состояния в первое возбужденное состояние атом начинает двигаться со скоростью
vc E12 mc
2

h

12

= hR

FG H

1 1

-

1 4

IJ K

=

3 4

hR =

E

пор

2

,

где R постоянная Ридберга. При ионизации электрон переходит с первого уровня на бесконечность; следовательно, энергия ионизации

Eи = hR.
Из полученных соотношений находим

3,3 м с .

c

h

=

mHe
N

mHe + m

Eпор

Второй способ решения. При записи законов сохранения энергии и импульса воспользуемся релятивистскими формулами для энергии и импульса:

Eпор =

3 2

Eи = 20,4 эВ .

не изменяется при ядерной реакции, так как импульс замкнутой системы сохраняется и поэтому указанная энергия не участвует в ядерных превращениях. Тогда искомую энергию найдем из условия mHe Eпор , Eпор = Q + mHe + m N откуда

mc +
h

2

hc
=

=

mc 1-v
mv

2

2

c

2

,

. 2 2 1-v c Далее, разделим второе соотношение на первое и получим
v=c hc mc + hc
2

Задача 6. Рентгеновский фотон сталкивается с неподвижным электроном и отражается в обратном направлении. Найдите приращение длины волны фотона в результате рассеяния. При энергиях в сотни тысяч электронвольт необходим учет релятивистских эффектов. Законы сохранения энергии и импульса принимают вид

mc +

2

hc
0

=

mc

2 2

1- v c

2

+

hc

,

.

Eпор =

mHe + m m
N

N

, Q = 145 МэВ .

Заметим, что минимум кинетической энергии бомбардирующей частицы достигается в случае, когда продукты реакции покоятся в системе центра масс. Задача 4. Неподвижный невозбужденный атом водорода поглощает фотон. В результате атом переходит в возбужденное состояние и начинает двигаться. Найдите величину v скорости, с которой стал двигаться атом после поглощения фотона. Энергия возбуждения атома -18 водорода E12 = 1,63 10 Дж, энер-10 2 гия покоя mc = 1,49 10 Дж. Указание. При x ? 1 можно счи тать, что 1 + x 1 + x . Первый способ решения. Поглощение фотона атомом является типичным неупругим столкновением. Из законов сохранения энергии: hc mv2 = E12 + 2 и импульса: h = mv находим искомую скорость:

Энергия поглощаемого фотона много меньше энергии покоя атома, поэтому выражение можно представить в виде
vc hc mc
2

mv h h = + , 2 2 0 1- v c

=c

E12 mc

2

.

b

g

Задача 5. На неподвижный невозбужденный атом водорода налетает другой невозбужденный атом водорода. Какова минимальная кинетическая энергия налетающего атома, при которой в результате столкновения может излучиться фотон? Энергия ионизации атома водорода 13,6 эВ. Налетающий атом передаст на ионизацию максимально возможную энергию при таком неупругом столкновении, когда оба атома в системе центра масс будут покоиться. Кинетическая энергия движения центра масс системы, равная
2 m1 + m2

где m масса электрона, 0 и длины волн фотона. Умножим второе равенство на с, сложим его с первым и вычтем его из первого равенства. Перемножив полученные соотношения, найдем h = - 0 = 2 = 4,84 10 -12 м . mc Заметим, что это вполне согласуется с экспериментальными данными.
Упражнения 1. Ядро лития возбуждается пучком протонов, падающим на неподвижную литиевую мишень. При этом происходит реакция
p + 7 Li p + 7 Li& .

c

p

2

h

=

p

2

4m

=
p

E

пор

2

v=c

которая определяется только отноше-

F GH

1+

2 E12 mc
2

-1 c

I JK

E12 mc

2

,

(где m p масса протона, а Eпор пороговая энергия), не изменяется при ядерной реакции, так как импульс замкнутой системы сохраняется и поэтому указанная энергия не участвует в ядерных превращениях. Фотон унесет минимальную энергию, если электрон в атоме водорода перейдет с первого уровня на второй. Для этого атом должен поглотить

При каких отношениях энергии налетающего протона к энергии возбуждения лития возможно возникновение протонов, движущихся в обратном к потоку направлении? 2. На неподвижный невозбужденный атом водорода налетает электрон. Какова минимальная кинетическая энергия E пор налетающего электрона, при которой в результате столкновения может излучаться фотон? Энергия ионизации атома водорода E и = 13,6 эВ. 3. Рентгеновский фотон сталкивается с неподвижным электроном и отражается в перпендикулярном направлении. Найдите приращение длины волны фотона в результате рассеяния.