Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/06/27.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:39 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:12:12 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: раствор

ЗАДАЧНИК

'КВАНТА'

27
2 2 na = 1 + Ka Na , nб = 1 + Kб Nб .

kx0 ( x0 положение поршня при несжатой пружине) уравновешивается силой гидростатического давления ghS за счет превышения уровня жидкости в наклонном колене на высоту h над ее уровнем в вертикальном колене. Тогда Mv2 Mx 2 , = Ek = 2 2
Ep = k x0 - x 2

температуре t2 = 20oC справедливы соотношения Для того чтобы в растворе ацетона и бензола палочка не была видна при температуре t2 , должно выполняться условие
2 nc = 1 + t Ka Na + 1 -
2

c

h

2

x + gSx h + 2 1 + sin

FG H

b

gIJK

e

t2

j

Kб Nб .

(при смещении жидкости на малое расстояние х от положения равновесия центр масс ее элемента массой Sx поднимается на высоту x 2 + h + x sin 2 ; (рис.2). Таким образом,

Отсюда (с учетом первого соотношения) найдем объемную долю ацетона в растворе при температуре t2 :

t2

b

g

=

2 2 nб - nc 2 2 nб - na

=

152 - 1,47 , 152 - 136 , ,

2 2

0,222 .

Mx 2 k x0 - x + 2 2

c

h

2

x2 + gS 1 + sin + gShx = const . 2

b

g

Продифференцируем это соотношение по времени:
Mx x + k + gS 1 + sin x x + gShx - kx x0 = 0 .

Сократим на x и учтем, что, в силу нашего выбора начала отсчета х, kx0 = gSh . Получим уравнение движения
k + gS 1 + sin x + x = 0, M

c

b

gh

При изменении температуры объемная доля ацетона не изменяется, поскольку коэффициенты объемного расширения обеих жидкостей по условию одинаковы. В то же время концентрации молекул ацетона и бензола меняются, поскольку изменяется объем раствора:

V = Vt 1 + t1 - t2 . 2
Таким образом, объемная доля ацетона при температуре t1 = 50 oC может быть найдена из условия
2 nc = 1 +

d

c

hi
j h

b

g

t Ka Na + 1 -
1

1+

которое является уравнением гармонических колебаний с периодом M T = 2 . k + gS 1 + sin М.Семенов

b

g

откуда 2 2 nб - 1 - nс - 1 1 + t1 - t2 t = 2 2 1 nб - na

e ct

t1

Kб Nб

1

- t2

,

e

jd
e

c

hi
2

=

1792.Ацетон и бензол смешиваются друг с другом в любых пропорциях, образуя прозрачный раствор. Объем смеси равен суммарному объему компонентов до смешивания. Коэффициент преломления света в смеси n зависит от концентраций молекул ацетона Na и бензола Nб следующим образом: n2 = 1 + Ka Na + Kб Nб , где Ka и Kб некоторые константы (поляризуемости молекул ацетона и бензола). В колбе находится V = 200 мл смеси ацетона и бензола при температуре t1 = 50 oC . Палочка из стекла, опущенная в колбу, освещается светом с длиной волны = 546 нм и не видна в этом растворе при данной температуре. Сколько миллилитров и какой жидкости ацетона или бензола нужно долить в колбу после ее охлаждения до температуры t2 = 20 oC , чтобы после размешивания раствора стеклянная палочка не была видна при том же освещении? Коэффициенты преломления света с данной длиной волны у этих жидкостей при температуре t2 равны na = 1,36 и nб = 1,50 соответственно, а у стекла nс = 1,47 . Коэффициенты объемного расширения обеих жидкостей в диапазоне температур от t2 до t1 одинаковы и равны = 0,00124 1/К. Тепловым расширением стекла и испарением жидкостей пренебречь.
Обозначим объемную долю ацетона в растворе при температуре t через t . Тогда объемная доля бензола в растворе равна 1 - t . Для чистых жидкостей при

=

1,52 - 1 - 1,472 - 1 1 + 0,00124 30 15 - 1,36 ,
2

jb

g

0,115 .

Ясно, что для увеличения объемной доли ацетона при t2 = 20 oC в раствор нужно будет добавлять ацетон. Объем исходного раствора после охлаждения до t2 равен
Vt =
2

1 + t1 - t2

В нем на долю бензола приходится объем
Vб = 1 - t Vt 170,7 мл ,
1 2

c

V

h

192,8 мл.

e

j

который после добавления ацетона должен составлять долю 1 - t2 от нового объема раствора Vн . Отсюда
Vн = Vб 1- 219,5 мл .
t2

Таким образом, в раствор нужно добавить объем ацетона, равный n2 - 1 t1 - t2 V Va = Vн - Vt = 2c 2 2 nc - na 1 + t1 - t2

c

c

h

h

219,5 мл - 192,8 мл 26,7 мл . С.Варламов