Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/06/03.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:37 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:09:59 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: релятивистское движение

ТРИ ТЕОРЕМЫ О ВЫПУКЛЫХ МНОГОГРАННИКАХ

3

.

Огюстена Луи Коши (17891857) 'по его блестящим достижениям во всех областях математики можно поставить почти рядом с Гауссом'. Эта оценка, данная французскому математику немецким математиком Феликсом Клейном, очень весома, особенно если учесть, что взаимоотношения между французскими и немецкими математиками развивались в атмосфере острой конкуренции и признание заслуг соперников никогда не отличалось щедростью. Гигантское научное наследие Коши занимает 25 внушительных томов и включает около 800 работ. Работы, принесшие Коши славу великого математика, относятся в основном к математическому анализу, алгебре, математической физике, механике. Его исследования по геометрии могли бы остаться незамеченными, если бы не работа 'О многоугольниках и многогранниках', опубликованная в 'Журнале Политехнической школы' в 1813 году. В этой работе недавний выпускник знаменитой Политехнической школы доказал замечательную теорему о выпуклых многогранниках. Аккуратное определение многогранника дано в первой части статьи. Здесь мы вспомним, что два многогранника равны, или конгруэнтны, если их можно совместить движением, а также, что многогранник называется выпуклым, если плоскость, проходящая через любую его грань, оставляет все остальные грани многогранника по одну сторону. Теорема Коши о единственности выпуклого многогранника с данными гранями. Два выпуклых многогранника с попарно равными гранями, составленными в одном и том же порядке, равны. Рассмотрим три многогранника (рис.1). Все они состоят из попарно равных граней. Но если первые два многогранника составлены из попарно равных граней, примыкающих друг к другу в одном и том же порядке,
a
.

то третий многогранник составлен из тех же граней, но примыкающих друг к другу иначе. То, что одинаково составленные многогранники не равны друг другу, нас не должно смущать: ведь один из многогранников (1,б) невыпуклый, а, как доказал Коши, в классе выпуклых многогранников подобная ситуация невозможна. Теорема Коши, в частности, объясняет, почему модель выпуклого многогранника, склеенная из картона, не деформируется, или, как еще говорят, неизгибаема. Многогранник, который может непрерывно деформироваться так, что его грани остаются плоскими и равными самим себе и меняются лишь его двугранные углы, называется изгибаемым. Если же такой непрерывной деформации не существует, то многогранник неизгибаем. Допустим, что выпуклый многогранник М изгибаем. Тогда существует другой, не равный ему многогранник M , двугранные углы которого мало отличаются от соответственных углов в многограннике М. Если отличие углов достаточно маленькое, то многогранник M также выпуклый. А так как соответственные грани этих многогранников равны, то, по теореме Коши, и сами многогранники конгруэнтны. Мы пришли к противоречию с предположением о том, что многогранник М изгибаем. Для доказательства этой теоремы Коши предложил новый метод, который, по словам А.Д.Александрова, 'представляет собой одно из прекраснейших рассуждений, какие только знает геометрия'.


Доказательство теоремы Коши о единственности выпуклого многогранника основано на двух леммах. Одна из них весьма неожиданная. Рассмотрим выпуклый многогранник. Отметим некоторые его ребра знаком '+' или '', а остальные ребра оставим 'нейтральными'. Выберем какую-нибудь вершину v и, начиная с любого подходящего к ней ребра, последовательно обойдем все ребра, сходящиеся в v, и вернемся к исходному ребру. Если в процессе обхода после очередного ребра с одним знаком следует ребро с противоположным, то мы говорим, что происходит перемена знака. Нейтральные ребра, которые могут находиться между отмеченными ребрами, при этом не учитываются. Обозначим через N v общее число перемен знака при обходе вершины v. Например, для вершины v, изображенной на рисунке 2,а, число пере-

б

в

.1
Продолжение. Начало см. в 'Кванте' ?5
1*

>C