Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/05/21.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:33 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:12:08 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: вторая космическая скорость

ЗАДАЧНИК

'КВАНТА'

21

Нарисуем качественно график зависимости r v x . Из рисунка 2 следует, что при t (т.е. при x ) v , т.е. r h в мгновенной сопутствующей системе отсчета скорость зайчика может быть сколь угодно боль шой. Это ничему не противоречит. Дело в том, O что при движении зайчи.1 ка не происходит переv мещения какого-либо материального объекта из одной точки стены в соседнюю: смещение зайчика вызвано приходом в соседнюю точку стены ноh вой порции световой энергии от прожектора. Разберемся с этим подробx нее. .2 Если прожектор, находящийся в точке О, вращается в одной плоскости, то к моменту, когда свет, испущенный в направлении точки А, достигнет точки D (рис.3,а), прожектор будет светить в
A x B

v

Поскольку то
v=
2

bg

2 dx dt = h cos t , dt1 dt = 1 + 2h sin t c cos t ,

e

2

j

. (4) c cos t + 2h sin t Из выражения (4) видно, что при t 2 скорость зайчика v c 2 sin t c 2 . Интересно исследовать ответ при t < 0 (отрицательное значение времени отвечает изменению угла от - 2 до + 2 ). При t - 2 из выражения (4) получается странный результат: v - c 2 . На первый взгляд это бессмыслица. Действительно, луч света, посланный в момент времени t = - 2 , пойдет параллельно стене, но не достигнет ее никогда, т.е. зайчика наблюдатель никогда не увидит. Кстати, из равенства (1) следует, что при t - 2 t1 . Но ведь фонарик вращается, и рано или поздно наблюдатель должен в первый раз увидеть зайчик. Найдем этот момент времени, обозначив его t2 . Очевидно, что t2 минимально возможное значение времени t1 , определяемое выражением (2). Вычислим производную dt1 dt и приравняем ее нулю: 2h sin t = 0. 1+ (5) 2 c cos t

ch

b

g

bg

bg bg

bg

Решая это уравнение, получаем
sin t = h c - 1+

a) O

D C

б) A B O

D C

A B

FG h IJ HcK

2

.

(6)

.3

Подставив это выражение в формулы (2) и (1), можно найти тот момент времени t2 , когда наблюдатель впервые увидит пятно света в точке с координатой
x2 = - h 1 + c h 2

направлении точки В (свет распространяется, естественно, прямолинейно). Поэтому к тому моменту, когда свет дойдет из точки D в точку А, свет, испущенный позднее в направлении точки В, достигнет точки С (DA = OC). А еще через некоторое время свет достигнет точки В. Если стена далеко, то AB > CB, т.е. скорость движения зайчика больше скорости света (сравните со случаем близко расположенной стены (см. рис.3,б), когда DA1 = OC1 и A1 B1 < C1 B1 ). Из-за конечности скорости распространения света с наблюдатель, находящийся в точке О, будет видеть зайчик не там, где световое пятно находится в момент наблюдения, а в другой точке там, где зайчик находился в более ранний момент времени. Примем за ноль отсчета времени момент, когда фонарик испустил свет в направлении ОА (см. рис.1). Если в момент времени t фонарик испустил свет в направлении ОВ (под углом = t ), то зайчик в точке В с координатой
x = h tg t

c b gh

2

-1

.

(1)

наблюдатель увидит, из-за запаздывания света, в момент времени 2h . (2) t1 = t + c cos t Для нахождения скорости зайчика воспользуемся равенством dx dx dt v= = . (3) dt1 dt1 dt
6 Квант ? 5

В последующие моменты времени наблюдатель будет видеть свет, отраженный стеной как правее, так и левее этой точки, т.е. наблюдаt тель будет видеть два зайчика, движущихся в противоположные стороны. Другими словами, выражение (2) при t1 > t2 имеет 2 корня: каждому t1 отвечают 2 значения t. Зависимость t1 t качественно изображена на рисунке 4. + t Подставляя равенство (5) 2 2 в выражение (4), видим, .4 что скорость обоих зайчиков в момент времени t2 равна бесконечности! Тем самым становится понятным 'нелепый' результат предельного перехода при t - 2 : при t1 зайчик, бегущий в сторону, противоположную направлению вращения фонарика, имеет скорость v - c 2 . Явно v через t1 из уравнений (4) и (2) не выражается: зависимость v t1 задана через параметр t. Для построения качественного графика зависимости v t1 построим

bg

bg

ch

ch