Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/04/57.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:29 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:16:49 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: обвмадеойс нефептощи рпфплпч

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

57

вого куска следует откусить k p раз. В результате массы n- > k - p C 10 - n - p и m 2 , а поскольку они кусков станут равны m 2 сравняются между собой, то n ( k - p ) = 10 n p, откуда
k =2 n+ p-5 ,

>

C

т.е. k четное число. Но 1 k 3 , следовательно, k = 2. Далее, так как k/2 < p k, то р = 2. Поэтому 2 = 2 n + 2 - 5 , и n = 4. Таким образом, первоначальные массы частей равны m 2 = 10 - 4 = 64m. В сумме это составляет 1 кг, или =16m и m 2 1000 г, поэтому 16m + 64m = 1000, откуда m = 12,5 г. Окончательная же масса обеих частей равна 12,5 Ч 2 = 25 г, что противоречит условию, согласно которому на долю медвежат досталось меньше 20 г сыра. Следовательно, медвежата неправы. Правомерен вопрос: а возможно ли вообще, чтобы после десятого откусывания медвежатам досталось меньше 20 г сыра? Оказывается, да. Простейший пример: лиса разламывает сыр на части, массы которых соотносятся как 1:1024, а затем 10 раз откусывает от большей части. В результате массы кусков уравниваются, но в каждом из них будет меньше грамма! Возможны и другие, менее грабительские, варианты. 19. Пусть числа записаны на карточках, выложенных в ряд. Будем менять карточки и увеличивать вдвое числа на них. Две карточки, раз поменявшись местами, обратно поменяться не могут. Предположим противное и выберем пару (А, В), первой поменявшуюся обратно. Ясно, что в промежутке между прямым и обратным обменами была еще хотя бы одна операция с А или В, иначе левое число так и осталось бы меньше правого. Однако карточка, поменявшись с А, попадет между А и В. Снова с А она не менялась иначе обратный обмен А и В не первый. Остаться между А и В она тоже не может тогда А и В не смогут поменяться. Значит, она поменялась с В. Но тогда сколько раз в промежутке поменялась А, столько раз поменялась и В, значит, числа на А и В увеличились в одинаковое количество раз, правое осталось больше левого, и они таки не могли поменяться. 20. Разделим клетки доски на 16 крайних, одну центральную и 8 средних. На средние клетки было сделано 8 ходов, один из них из центра, поэтому не более 7 с края. Значит, с края на край сделано не менее 9 ходов. Предположим, с края на край нет ходов по диагонали, тогда по принципу Дирихле вдоль одной из сторон квадрата сделано не менее 3 ходов с края на край. Для них есть 3 начальных и 3 конечных клетки, но на одном краю доски только 5 клеток, поэтому какаято начальная совпадет с конечной, т.е. найдутся два последовательных хода в одном направлении, чего быть не может. Итак, имеется ход D с края на край по диагонали. Тогда он отсекает угол, и ход из этого угла (или в этот угол) пересекает D. Таким образом, ломаная должна быть самопересекающейся.

>

C

4

ABC D , сторона BC которого параллельна KL, а KLMN равновеликим параллелограммом KLM N , сторона LM которого параллельна АВ. Поскольку параллельная проекция сохраняет отношения параллельных отрезков, проекции этих, а значит, и исходных параллелограммов равновелики. 3. Возьмем равнобедренный треугольник АВС с вершиной С, лежащей на линии пересечения исходной плоскости и плоскости проекции, и основанием АВ, параллельным этой линии (см. рис. 3 статьи). Его проекцией будет также равнобедренный треугольник CA B , причем A B = AB , а высота CD = CD cos , где угол между плоскостями. Следовательно, tg A CD = tg ACD cos . Пусть tg ACD = , cos = , где достаточно мало. Тогда близC кий к нулю угол АСВ проецируется в близкий к угол A CB . 4. Пусть О вершина трехгранного угла. На ребре, двуb гранный угол при котором раac вен , отложим отрезок ОС = O = 1, проведем через С плоскость, перпендикулярную ОС, . 4 и найдем точки А и В ее пересечения с другими ребрами (рис.4). Получаем
2



A

B

CB = tg a , CA = tg b , OB = 1 cos a , OA = 1 cos b ,
2 2 2 AB = tg a + tg b - 2tg a tg b cos ,

cos c =

OA + OB - AB 2 OA OB

2

2

2

= cos a cos b + sin a sin b cos .

5. Докажем сначала, что если прямой угол ортогонально проецируется в прямой, то одна из его сторон параллельна плоскости проекции. Предположим, что это не так. Тогда можно считать, что проекцией прямого угла АСВ является прямой угол ADB. Но в этом случае все углы при вершине D пирамиды ABCD пря2 2 2 2 мые, т.е. АС > AD, ВС > BD, AC + BC > AD + BD противоречие. Пусть теперь диагонали четырехугольника A B C D перпендикулярны. Так как эти диагонали являются проекциями перпендикулярных друг другу противоположных ребер тетраэдра, одно из этих ребер, например BD, параллельно плоскости проекции. Тогда плоскость симметрии тетраэдра, проходящая через АС и середину BD, перпендикулярна площади проекции, и A B C D симметричен относительно прямой A C , в которую проецируется эта плоскость. Отсюда сразу вытекает требуемое утверждение.


2. l cos . 5 7 11 3 и ; б) , , , ; в) от 0 до 1. 3. а) 4 12 12 12 12 4 Указание. c = 2 R sin , т.е. AB1 = 2R sin cos . 1 4. Определите углы, образуемые прямыми A1 B1 и ОС со стороной AС. 5. Rp1. Указание. В четырехугольниках OA1CB1 , OA1 BC1 , OB1 AC1 диагонали перпендикулярны, а сумма их площадей равна площади исходного треугольника.
,, 33 - 1 , г) 2


1. Пусть параллельные прямые а и b проектируются параллельно прямой l на плоскость . Тогда плоскости, проходящие через a и b и параллельные l, параллельны между собой и, значит, пересекают по параллельным прямым. Следовательно, параллельной проекцией параллелограмма будет параллелограмм, и равные параллельные отрезки проецируются в равные. Для завершения доказательства достаточно заметить, что по теореме Фалеса отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой, равно отношению длин их проекций. 2. Противоположные стороны двух параллелограммов, изображенных на рисунке 2 статьи, лежат на одних прямых. Их проекции обладают тем же свойством и, значит, равновелики. Пусть теперь даны два равновеликих параллелограмма ABCD и KLMN. Заменим ABCD равновеликим параллелограммом

6. а)



; 3 -
2



б)
1

3 8
1

,

3 8

,

4

;

в)

5 12

,

3

,

4

;

,

- 2

.