Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/04/39.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:29 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:29 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: arp 220

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ

39


.

обе части в квадрат и используя тождество 1 cos2 = 1 + tg2 ,

получаем формулу (1). Запишем теперь законы сохранения энергии Е и момента импульса L частицы для участка АВ ее траектории (см. рис.1): E A = EB , LA = LB , или mv 2
2



ресных задач о движении классических частиц и фотонов в полях тяготения планет и звезд.

АССМОТРИМ НЕСКОЛЬКО ИНТЕ-

1.
На какой угол изменится направление скорости пролетающей мимо Земли метеорной частицы под действием поля земного тяготения (рис.1)? Скорость частицы на бескоK K b A r


нечно больших расстояниях от Земли как при приближении, так и при удалении скорость частицы направлена по асимптоте гиперболы, поэтому задача состоит в нахождении угла между асимптотами. Точка пересечения асимптот лежит посередине между фокусами. Приравняем разности расстояний от фокусов О и O до бесконечно удаленной точки это отрезок O C на рисун-

=

mv 2

2 m

-

GMm rm

, (2)

bv = rm vm ,

Полярная ось N

b A r / OB r
O

где vm скорость частицы в точке В; мы учли, что точка А находится в бесконечности, поэтому LA = L = = r0 mv sin 0 = bmv , LB = а o = rm mvm sin 90 = rm mvm . (Отметим, что вместо закона сохранения момента импульса можно использовать второй закон Кеплера.) Из равенств (2) получаем (3) v Если считать заданным расстояние rm , то для прицельного расстояния b находим
2

mv

rm +

2

2GM

rm - b = 0 .

2



B r R
m



m
O M N

b = rm 1 +

2GM rm v
2

.

. 1

Если считать заданным расстояние b, то для rm находим
. 2

нечности равна v . Влияние атмосферы Земли не учитывать. При решении задачи учтем (без вывода), что частица движется по гиперболической траектории. Опираясь на геометрические свойства гиперболы, можно доказать, что угол рассеяния , прицельное расстояние b и расстояние rm от центра планеты до ближайшей точки В траектории частицы связаны соотношением tg 2 = b - rm 2brm
2 2

rm =

GM v
2

ке 2 и до ближайшей к центру Земли точки. Из треугольника OO C находим OC = 2b, 2b . cos 2 Разность расстояний от фокусов до точки В составляет O C = 2b tg 2 , OO = BO - BO = OO - BO - BO , где ВО = rm . Теперь условие равенства разности расстояний до выбранных точек можно записать в виде 2b 2b tg = - 2rm . 2 cos 2 Перенося 2rm в левую часть, возводя

Для определенности будем считать известным прицельный параметр b. Тогда, с учетом (3), для угла рассеяния получаем tg GM = 2. 2 bv (5)

F GG GH

1+

F GH

bv

2

GM

I JK

2

-

I 1J JJ K

.

(4)

.

(1)

Действительно, гипербола это геометрическое место точек, разность расстояний до которых от двух заданных точек О и O , называемых фокусами (рис.2), постоянна: r1 - r2 = const. Один из фокусов гиперболы О совпадает с центром Земли, второй фокус O лежит на прямой, проходящей через центр Земли и ближайшую к центру точку В траектории. На беско-

d

i

Метеорная частица не задевает планету, если rm Ъ R (см. рис.1). При rm = =R расстояние b оказывается минимальным и равным bmin = R 1 + 2GM Rv
2

= R 1+

Fv I GH v JK
2к

2

,

где v2 к = 2GM R вторая космическая (параболическая) скорость. При заданном значении v и минимальном прицельном расстоянии bmin угол отклонения (или угол рассеяния) макси-