Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/04/37.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:29 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:14:23 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: треугольник

ШКОЛА

В

'КВАНТЕ'

37
бедренный прямоугольный; в) имеет углы ,,. 632 8. Найдите углы треугольников, подобных своим ортоцентрическим треугольникам. 9. Сколько существует (с точностью до подобия) треугольников, ортоцентрический треугольник которых неравнобедренный и имеет углы 1 , 1 , 1 ? 10. Вторым ортоцентрическим треугольником для данного треугольника называется ортоцентрический треугольник его ортоцентрического треугольника. Найдите углы треугольника, если его второй ортоцентрический треугольник правильный.

и > /2 (рис.4,б) , то точки A1 , B1 , B, A лежат на одной окружности, а углы A1 B1 A и ABA1 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Если С острый, а B тупой угол, то BBA1 A вписанный четыреху1 гольник (рис.4,в) и BA1 B1 = A , что доказывает утверждение задачи и в этом случае. Во всех трех случаях при доказательстве равенства углов была использована окружность, содержащая 4 точки интересующей нас конфигурации. Дальше этот прием будет применяться неоднократно. Отметим еще, что коэффициент подобия треугольников ABC и A1 B1C равен BC k = 1 = cos , если < /2 , BC и k = cos , если > /2 .
Упражнения 2. Найдите сторону АВ треугольника АВС, если AB1 = l, а C = . 1 3. Найдите угол C треугольника ABC, если отрезок A1 B1 а) равен R , где R радиус описанной около него окружности; б) равен
1 2 R . в) В каких пределах A1 B1 R

ного треугольника. Прежде всего заметим (рис.5,а), что, как было ранее доказано, B1 A1C = C1 A1 B = . Поэтому в ортоцентрическом треугольнике A1 = - 2 , аналогично, B1 = - 2 , C1 = - 2 . Попутно становится очевидным, что B1 A1 A = C1 A1 A , т.е. что высота AA1 является биссектрисой угла A1 ортоцентрического треугольника. Итак, высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортоцентрического треугольника, а ортоцентр H центром вписанной в A1 B1C1 окружности.
Упражнение 6. Найдите углы остроугольного треугольника, если его ортоцентрический треугольник а) правильный; б) равнобедренный прямоугольный; в) равнобедренный с углом при вершине 2 / 3 ; г) имеет углы 1 , 1 , 1 .


Снова начнем с остроугольного треугольника ABC. Пусть H его ортоцентр. Опишем около ABC окружность. Пусть H1 , H2 , H3 точки пересечения продолжений высот исходного треугольника с описанной окружностью (рис.6).

может меняться отношение

?

4. Докажите, что прямые OC и A1 B1 перпендикулярны. 5. Пусть R радиус окружности, описанной около остроугольного треугольника АВС, а p1 полупериметр треугольника A1 B1C1 . Найдите площадь треугольника АВС.

Теперь найдем углы треугольника A1 B1C1 , если угол C тупой. Мы уже отметили ранее, что A1 B1 A = . Кроме того, в остроугольном треугольнике AHB (рис.5,б) AB1 , BA1 , HC1 высоты, так что треугольник A1 B1C1 является ортоцентрическим и для AHB. Мы уже видели, что

H B

C

A H C H! 31

H

2 A

a B

C

B

Замечание. Внимательно разглядывая рисунок 4,а, нетрудно заметить, что B1 A1 A = B1 BA = - . 2 Аналогично, из рисунка 4,б B1 A1 A = + . 2 Эти соотношения нам тоже пригодятся в дальнейшем.

A H A б A B C A
. 5

. 6

C H

B


Ортоцентрическим треугольником для данного треугольника ABC называется треугольник A1 B1C1 , образованный основаниями его высот. Ясно, что если исходный треугольник не является прямоугольным, то ортоцентрический треугольник существует. Выразим углы ортоцентрического треугольника через углы данного. Сначала сделаем это для остроуголь-

C

B

A1 B1 A = , а высота AB1 биссектриса угла B1 . Поэтому B1 = 2 . Аналогично, A1 = 2 , а C1 = 2 - .
Упражнения 7. Найдите углы тупоугольного треугольника, если его ортоцентрический треугольник а) правильный; б) равно-

Поскольку 1 = 2 (как вписанные), а 2 = 3 (это острые углы двух прямоугольных треугольников с общим углом C ), получаем, что 1 = 3 , а треугольник HBH1 равнобедренный, так как его высота BA1 является биссектрисой. Следовательно, HA1 = A1 H1 , т.е. точка, симметричная ортоцентру относительно стороны, лежит на описанной окружности. ( ) А так как треугольники CHB и CH1 B равны, радиус окружности, описанной около треугольника CHB, равен R. Итак, на рисунке 7 радиусы всех четырех окружностей равны. Заметим попутно, что треугольники H1 H2 H3 и A1 B1C1 подобны с коэффициентом 2. Поэтому радиус окружности, описанной около ортоцентрического треугольника, равен R 2 . Если треугольник ABC тупоугольный, то A1 B1C1 является ортоцентри-