Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/03/43.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:51 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:10 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: заряд

ФИЗИЧЕСКИЙ

ФАКУЛЬТАТИВ

43
баний. В результате получим

рика тем меньше, чем больше величины зарядов и чем меньше масса шарика.

Колебания заряженного шарика в поле двух других точечных зарядов
Рассмотрим два маленьких шарика с зарядами q1 и q2 , закрепленные в точках А и В на расстоянии l друг от друга (рис.2). Вдоль направляющей, соединяющей оба шарика, может двигаться без трения третий шарик массой
а A q


предоставить самому себе, то он будет совершать колебания вдоль направляющей. Определим положение равновесия x0 , отсчитывая его от точки А. Используя выражение для закона Кулона, запишем условие равновесия

F=

q

e

q1 + q2
0

2

q1q2 l

3

j

4

x.

qq1 4 0 x

2 0

=

qq2 4 0 l - x0
l + q2 q1

c

h

2

,

откуда найдем
x0 =

Эта формула уже похожа на выражение для квазиупругой силы. Коэффициент пропорциональности перед х выполняет роль коэффициента 'упругости' k. Тогда для частоты малых колебаний находим
=

e1

j

.

e

q1 + l

q2

j

2

q 2 0 ml q1 q2

.

q,m F x


q F


B

lx x



б A
Рис. 2

.
q


.
q q

B

m и зарядом q. Предполагая все заряды одноименными, определим частоту колебаний среднего шарика. Так как все заряды одноименные, на средний (подвижный) шарик будут действовать силы отталкивания F1 и


F2 со стороны зарядов q1 и q2 соответственно, направленные в противоположные стороны (см. рис.2,а). Повидимому, в этом случае возможно такое расположение среднего шарика, когда обе силы равны по величине и компенсируют друг друга. Точка, в которой при этом располагается средний шарик, и будет положением равновесия. Выясним, является ли это равновесие устойчивым. Для этого будем смещать шарик относительно положения равновесия вправо или влево. При небольшом смещении влево (см. рис.2,б) сила отталкивания F1 со стороны заряда q1 возрастает, так как расстояние между зарядами q1 и q

Видно, что расстояние x0 от точки А до положения равновесия подвижного шарика пропорционально расстоянию l между двумя крайними (закрепленными) шариками и зависит только от отношения величин зарядов q2 q1 этих шариков. Найдем теперь частоту малых колебаний среднего шарика. Под малыми будем понимать такие колебания, при которых смещение из положения равновесия намного меньше характерного расстояния в системе. В качестве такового здесь следует принять x0 либо l x0 (меньшее из них). Таким образом, критерий малости колебаний имеет вид

Частота колебаний симметрично, но сложным образом, зависит от величин зарядов q1 и q2 .

Колебания шара в жидкости
Определим частоту малых вертикальных колебаний шара, погруженного в жидкость (рис.3), пренебрегая сопротивлением жидкости и присоединенной массой.
а F H R
)

x

б

.)
mg

mg

x?x0 , l x0 .
Предположим, что подвижный шарик сместился влево на расстояние х от положения равновесия (см. рис.2,б). Тогда силы отталкивания со стороны зарядов q1 и q2 будут равны соответственно
Рис. 3

F1 =
и

1 4 1
0

c

qq1 x0 - x qq2

h

2

F2 =

4

0

уменьшается, а сила отталкивания F2 со стороны заряда q2 уменьшается, поэтому возникает действующая на средний шарик разность сил, направленная к положению равновесия. Если отпустить шарик, то он начнет перемещаться в направлении положения равновесия. Аналогичная ситуация возникает и при смещении шарика вправо. Таким образом, можно утверждать, что при продольных смещениях шарика относительно положения равновесия всегда возникает возвращающая сила, направленная в сторону, противоположную смещению. Если шарик



а возвращающая сила, равная их разности и направленная к положению равновесия, будет равна
F= q 4
0

cl

- x0 + x

h

2

,

В положении равновесия на шар действуют две силы: сила тяжести mg и выталкивающая, или архимедова, сила FA со стороны жидкости (см. рис.3,а). Они равны по величине и противоположны по направлению. В проекции на вертикальную ось условие равновесия выражается формулой Поскольку и

mg = FA .
m = 4 3 R
3

F GG Hc

q1 x0 - x

hc
2

-

q2 l - x0 + x

I J h JK
2

FA = 1 gH
.

2

где плотность шара и 1 плотность жидкости, получаем

b

3R - H 3 ,

g

Из этого выражения явно не видно, что возвращающая сила имеет квазиупругий характер, тем не менее при малых значениях отклонения х (в рамках критерия малости) она действительно является квазиупругой. Для того чтобы это показать, приведем выражение для F к общему знаменателю, распишем подробнее выражение в числителе, воспользуемся условием равновесия и критерием малости коле-

4 R = 1 H 3 R - H .
Отсюда при заданных R и Н можно определить отношение плотностей 1 . Выведем шар из положения равновесия, дополнительно погрузив его в жидкость на глубину х (см. рис.3,б). В этом случае выталкивающая сила увеличивается по сравнению с равновесной, за счет чего возникает

3

2

b

g