Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/02/05.pdf
Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:43 2005
Дата индексирования: Tue Oct 2 00:09:43 2012
Кодировка: Windows-1251

ВЕЛИКИЕ

МАТЕМАТИКИ

ПРОШЛОГО

И

ИХ

ВЕЛИКИЕ

ТЕОРЕМЫ

5

мистическое число, квадрат которого равен 1. Формула Эйлера потрясла меня, как, пожалуй, ничто математическое не потрясало ни до, ни после. Эта формула восхищала не одного меня. Наш знаменитый академик, математик и кораблестроитель Алексей Николаевич Крылов, слова которого я поставил эпиграфом к этому разделу, видел в этой формуле символ единства всей математики, ибо в ней '1 представляет арифметику, i алгебру, геометрию и е анализ'. Можно очень многое сказать о творце этой формулы Леонарде Эйлере (17071783) гениальном математике, физике, механике и астрономе, прожившем значительную часть своей жизни в России и похороненном в Санкт-Петербурге. Леонард Эйлер один из величайших тружеников в истории науки. Ему принадлежит 865 исследований по самым разнообразным проблемам. В 1909 году швейцарское естественнонаучное общество приступило к изданию полного собрания сочинений Эйлера. С тех пор прошел срок больший, чем вся жизнь Эйлера, издано около семидесяти томов его сочинений, а издание еще не закончено. Переписка Эйлера составляет свыше 3000 писем. Уже одно это свидетельство необыкновенного нравственного облика ученого: дурным людям писем не пишут. Все ученые, современники Эйлера, делились с ним плодами своих размышлений, просили высказать свое суждение по интересующим их проблемам и всегда находили отклик и поддержку. Душевная красота Эйлера отразилась во множестве его поступков. В предыдущем разделе я рассказывал о том, как Эйлер старался утвердить приоритет Ферма. Когда молодой Лагранж (о нем речь впереди) посвятил Эйлера в свои исследования в области вариационного исчисления, Эйлер направил ему письмо (от 2 декабря 1759 года, Лагранжу было тогда 23 года), и я не могу не привести его слова, слова высокого духовного благородства: 'Твое аналитическое решение изопериметрической проблемы содержит, насколько я вижу, все, что только можно желать в этой области, и я чрезвычайно рад, что эта теория, которой после моих первых попыток я занимался едва ли не
2 Квант ? 2

один, доведена до величайшего совершенства. Важность вопроса побудила меня к тому, что я с помощью твоего освещения сам вывел аналитическое решение; я, однако, решил скрывать это, пока ты не опубликуешь свои результаты, так как я никоим образом не хочу отнимать часть заслуженной тобою славы'. i Теорема 3. e = - 1. Доказательство. При доказательстве мы будем использовать следующую формулу (она носит название бином Ньютона):

времена Эйлера к вопросу о правомерности преобразований подходили довольно свободно. Сам Эйлер в подобных случаях поступал очень смело и практически всегда оказывался прав. Рассуждая аналогично, можно получить разложение n x x e = lim 1 + = n n

FG H

IJ K

= 1+ x +

x

2

2!

+

x

3

3!

+K=

k=0

x

k

k!

.

b

a+b

g

n

= a + Cn a
n- 2 2

n

1

n -1 3

b+
n- 3 3

2 + Cn a

b + Cn a

b +K
n -1 n +b ,

... + Cn a b

n -2 2 n - 2

+ Cn ab

n-1

k где n натуральное число, Cn = n n-1K n-k +1 n! = = . k! k! n - k ! Как известно,

b

g

b

gb
1 n

g

e = lim 1 +
n

FG H

IJ K

n

.

Применим формулу бинома Ньютона:

Это разложение впервые было получено именно Эйлером, и в его честь число е получило свое обозначение: е есть первая буква фамилии Euler. Еще задолго до Эйлера были известны разложения в ряд синуса и косинуса: 3 5 x x sin x = x - + - K, 3! 5! 2 4 x x cos x = 1 - + -K 2! 4 ! Гениальная идея Эйлера состоит в том, что формулу для e x можно применять не только к действительным, но и к комплексным числам:

FG H

1 1+ n

IJ K

n

= 1+ n

1 n

+

n n 1

b

g

+ ... +

n n-1 n-2

b

n n -1K n -k +1 k!

n (здесь мы выписали только несколько первых членов разложения). Перейдем в обеих частях равенства к пределу при n и получим следующее разложение в ряд: 11 1 1 e =1+ + + +K+ +K 1! 2 ! 3 ! k! Поясним, почему формальный переход к пределу дает такой ряд. Поскольку (k + 1)-е слагаемое имеет вид

b

3!

gb

g

2 1 n
3

1 n
2

+

e = 1+ z +

z

z

2

2!

+

z

3

3!

+

z

4

4!

+

z

5

5!

+ K,

+K+

gb

g

где z произвольное комплексное число. Подставим в эту формулу z = = i (где i мнимая единица, т.е. 2 i = 1):

1
k

+K

e

i

= 1 + i +
+

b i g + b i g
2

3

b ig + big
4

2!

3!

+

5

4!
2

5!

+K=
4

= 1 + i -

= 1 - 2! + 4 ! - K + + i -

3

1 2 k -1 1- K 1- n n n k! и при n сомножители в числителе стремятся к 1, то (k + 1)-е 1 слагаемое стремится к ! Конечно, с k точки зрения современного математика, этот предельный переход необходимо строго обосновать. Но во 1-

FG H

IJ FG KH

IJ FG KH

IJ K

F GH F GH

2!

2

3

3!

i+

4

4!

+

5

3!

+

5

5!

-

I JK I KJ K

5!

iK=

=

= cos + i sin = 1. Теорема 3 доказана. Позднее, когда появилась строгая теория рядов, подобные выводы, восходящие к Эйлеру, были подтверждены, а все преобразования признаны законными.
Продолжение следует