Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/06/kv0600probl.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:04 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:33:32 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: информация

КВАНT$ ЗАДАЧНИК

2000/6

'КВАНТА'


. , , . . , . , . 1 2001 : 117296 , , 64 , ''. ( ) . '' : ' '' 6 - 2000' , , '1751' '1758'. '... ' . ( ). , , ( : ' '', ' ' '', '). , . 1758 - 1760 XXXIV .

1751--1755, 1758 -- 1762
1751. Между двумя странами установлено авиационное сообщение. Каждый город одной страны связан беспересадочными рейсами ровно с k городами другой, причем из любого города этих стран можно перелететь в любой другой, возможно с пересадками. (Города одной страны рейсы этой авиакомпании не соединяют.) Из-за финансового кризиса пришлось закрыть один рейс. Докажите, что теперь по-прежнему из любого города можно долететь в любой другой. О.Мельников
C

вательность a + a2 a + a3 a + an +1 , a2 , 2 , a3 , K, an , n a1, 1 , an +1, K 2 2 2 одноцветна. В.Васильева, И.Протасов

1755*. Имеется 10 квадратных салфеток, площадь

каждой из которых равна 1, и квадратный стол, площадь которого равна 5. Докажите, что стол можно покрыть салфетками в два слоя. (Салфетки можно перегибать, но нельзя разрывать.) В.Произволов

1752. Сколькими способами можно расставить восемь

ладей на черных полях шахматной доски так, чтобы они не били друг друга? В.Произволов

L

A
.1

B

вписанная в треугольник АВС, касается его сторон в точках A , B , C , точка L середина отрезка AB (рис.1). Докажите, что угол ALB тупой. А.Заславский

1753. Окружность,

ло натурального ряда окрашено либо в черный, либо в белый цвет. Докажите, что найдется бесконечная возрастающая последовательность черных чисел a1 , a2 , , an , такая, что последо-

1754*. Каждое чис-

1758. Кот Леопольд стоял у края крыши сарая. Два злобных мышонка выстрелили в него из t t рогатки. Однако камень, описав дугу, через t1 = 1,2 с упs руго отразился от наклонного ската крыши сарая у самых лап кота и через t2 = 1,0 с попал в .2 лапу стрелявшего мышонка (рис.2). На каком расстоянии s от мышей находился кот Леопольд? Д.Александров, В.Слободянин 1759. Длинный товарный поезд трогается с места. Вагоны соединены друг с другом с помощью абсолютно неупругих сцепок. Первоначально зазор в каждой сцепке равен L (рис.3). Масса локомотива m, а его порядковый номер первый. Все вагоны загружены, и масса


ЗАДАЧНИК

'КВАНТА'



каждого из них тоже m. 1) Считая силу тяги локомотива постоянной и рав.3 ной F, найдите время, за которое в движение будет вовлечено N вагонов. 2) Полагая, что состав очень длинный ( N ), определите предельную скорость v локомотива. П.Бойко, Ю.Полянский горизонтали, между которыми расстояние 2а, прикреплена тонкая легкая нерастяжимая нить длиной 2l (рис.4). По нити без трения = скользит маленькая тяжелая бусинка. Ускорение свободного падения g. ) * 1) Найдите частоту C малых колебаний бусинки в плоскости, перпендикулярной отрезку, соединяющему точки крепле.4 ния нити. 2) Найдите частоту малых колебаний бусинки || в вертикальной плоскости, проходящей через точки крепления нити. 3) При каком отношении l/a траектория движения бусинки в проекции на горизонтальную плоскость может иметь вид, представленный на .5 рисунке 5? Примечание : при решении задачи вам может оказаться полезной формула 1 1 1 + x 1 + x - x2 + K 2 8 при x ?1. В.Пестун 10 см и высотой 1 м содержит под поршнем массой 2 кг сухой воздух и три одинаковые маленькие ампулы с водой. Температура воздуха снаружи +100 њС, атмосферное давление норQ мальное. Вначале поршень висит на высоте 20 см над дном сосуда, а после того, R как одна из ампул лопнуr ла, он поднялся и окончательно остановился на высоте 40 см. Сколько воды было в ампуле? Выскочит ли поршень из сосуда, если лопнут остальные две амq пулы? А.Зильберман .6
6 Квант ? 6

1762. Найдите силу взаимодействия двух непроводящих полусфер радиусами R и r с зарядами Q и q соответственно, распределенными равномерно по поверхностям полусфер (рис.6). Центры и плоскости максимальных сечений полусфер совпадают. Г.Григорян

1726--1735, 1743--1747
1726. На плоскости проведено n прямых. Каждая
пересекается ровно с 1999 другими. Найдите все возможные значения n.

1760. К двум точкам А и В, находящимся на одной

Ответ: 2000 или 3998. Если среди n прямых нет параллельных, то n = 2000, так как каждая прямая пересекается со всеми остальными. Если же у какой-то из n прямых есть ровно K ей параллельных, то у любой прямой другого направления тоже есть ровно K ей параллельных (иначе эти две прямые пересекались бы с неодинаковым числом других). Значит, n = K + 1 S , где S число различных направлений, которым параллельны прямые. Но тогда 1999 = = K + 1 S - 1 . Так как 1999 число простое, то K + 1 = = 1999, S = 2, т.е. n = 3998. Р.Женодаров

>

>

C>

C

C

1727. Неутомимые Фома и Ерема строят последова-

тельность. Сначала в последовательности есть одно натуральное число. Затем они по очереди выписывают следующие числа: Фома получает очередное число, прибавляя к предыдущему любую из его цифр, а Ерема вычитая из предыдущего любую из его цифр. Докажите, что какое-то число в этой последовательности повторится не меньше 10 раз. Пусть первое число последовательности строго меньше 99K90 . Покажем, что все члены последовательности не 13 2
n n +1

превосходят 99K9 . Каждый раз к числу прибавляется не 13 2 более 9, поэтому для того, чтобы перейти через 99K9 , 13 2 сначала Фома должен получить число 99K9 ?, где ? одна 13 2 из цифр. Ерема может из этого числа вычесть 9, тогда (при ? < 9) снова получается число, меньшее 99K90 . Если же 13 2
n n n +1

1761. Высокий вертикальный сосуд с площадью дна
2

Ерема вычитает ?, то получается 99K90 . Фома может 13 2 прибавить 0, не изменив числа, или прибавить 9, получив 99K9 . В любом случае через 99K9 он не перейдет. 13 2 13 2 Таким образом, после того как выписано достаточно много членов последовательности (скажем, 100K0 99 + 1), со13 2 гласно принципу Дирихле хотя бы одно число повторится даже не 10, а по крайней мере 100 раз, так как все члены последовательности целые числа из отрезка [0; 99K9] . 13 2 А.Шаповалов
n +1
n +1 n +1 n +1 n

1728. Точки K, L на сторонах АС, СВ треугольника

АВС это точки, в которых вневписанные окружности касаются сторон. Докажите, что прямая, соединяющая середины KL и АВ,