Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/06/kv0600bliokh.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:08 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:34:25 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: дисперсия скоростей

К В А Н T 2000/6

П.БЛИОХ

В

кая линза способна фокусировать свет: падающий пучок параллельных лучей сходится в фокусе линзы, и его поперечное сечение уменьшается. Оказывается, нечто подобное может произойти и с радиоимпульсом, но его протяженность сокращается не только в про-

СЕ ЗНАЮТ, ЧТО ОПТИЧЕС-

странстве, но и во времени: после прохождения 'линзы времени' радиоимпульс становится более коротким. При этом полная энергия импульса сохраняется, а его мощность (энергия в единицу времени) возрастает подобно тому, как увеличивается яркость светового пятна в фокусе оптической линзы.


Известно, что радиоволны распространяются в пустоте со скоростью света с = 3 108 м/с. В этом нет ничего удивительного, так как свет и радиоизлучение имеют одну и ту же

.


ПЛАЗМА

КАК

ЛИНЗА

ВРЕМЕНИ

!
которую мы сможем легко оценить по аналогии с колебаниями обычного маятника. Вспомним формулу для частоты собственных колебаний математического маятника:

физическую природу, представляя собой электромагнитные волны с разными частотами колебаний. Величина c является одной из фундаментальных физических постоянных, но скорость распространения электромагнитных волн равна с только в вакууме. Если же волна проходит через какую-нибудь среду, процесс распространения существенно усложняется. И вот почему. Даже в том случае, когда среда является электрически нейтральной, в ней все равно присутствуют электрические заряды, которые входят в состав атомов и молекул. Рассмотрим, например, особое состояние вещества плазму. Она представляет собой смесь свободных отрицательных и положительных зарядов. Отрицательными зарядами являются обычно электроны, оторванные от атомов каким-либо внешним ионизирующим воздействием. Положительные заряды (ионы) это атомы, потерявшие один или несколько электронов. Могут быть и отрицательные ионы атомы с 'прилипшими' электронами, но их вклад обычно мал по сравнению с электронами. Электромагнитная волна вызывает колебания электрических зарядов как связанных (в атомах и молекулах), так и свободных (в плазме). Колеблющиеся заряды сами излучают вторичные электромагнитные волны, которые складываются с исходной волной. Результирующая волна распространяется в среде со скоростью, уже отличной от с. Это обстоятельство учитывают, вводя специальную характеристику среды коэффициент преломления n, который показывает, во сколько раз уменьшается скорость распространения электромагнитных волн в среде по сравнению с вакуумом: c vф = . (1) n

>C

Обратите внимание на обозначения. Скорость волны в среде обозначена через vф , где индекс 'ф' показывает, что речь идет о фазовой скорости (ниже мы поясним смысл этого определения). Коэффициент преломления зависит от частоты волны , что и подчеркивается введением аргумента: n . Зависимость показателя преломления, а значит, и скорости распространения волны от частоты называют дисперсией среды. По-

>C

скольку коэффициент преломления является безразмерной величиной, аргумент должен входить в n в безразмерной комбинации p , где p собственная частота среды, в плазме ее называют плазменной частотой. Плазменное состояние вещества характерно для космического пространства. В близком к Земле окружении плазма образуется из нейтрального газа, который подвергается внешнему воздействию, способному оторвать электроны от атомов. Таким является, например, коротковолновое излучение Солнца (рентгеновские и ультрафиолетовые лучи). В результате ионизации атмосферы на высоте 5060 км и выше возникает слой плазмы, который называют ионосферой. В дальнем космосе степень ионизации очень высокая, и по современным представлениям 99,9% видимого вещества представляет собой плазму. Искусственно создаваемая плазма широко используется в разнообразных лабораторных установках. Хотя в состав плазмы входят свободные заряды разных знаков, среда в целом остается электрически нейтральной, точнее квазинейтральной. Это означает, что концентрации отрицательных и положительных зарядов равны друг другу в среднем, но могут не совпадать в небольших объемах или в течение коротких промежутков времени. Дело в том, что всегда существует хаотическое тепловое движение частиц, и в любой данный момент времени в одном месте может возникнуть избыток положительных (или отрицательных), а в другом месте избыток отрицательных (или положительных) зарядов. Тогда, в соответствии с законом Кулона, электроны начнут притягиваться к той области пространства, где имеется избыток положительного заряда (или, что то же, дефицит электронов). Движущиеся заряды пролетят по инерции положение равновесия, и в том месте, где был дефицит электронов, возникнет их избыток. Сила электрического притяжения сменится на силу отталкивания, и электроны начнут двигаться в противоположном направлении. Потом они снова пролетят положение равновесия, остановятся и начнут возвращаться обратно. Этот колебательный процесс будет происходить с определенной частотой p ,

>C

0 =

g l

,

(2)

где g ускорение силы тяжести, а l длина маятника. В плазме кулоновская сила, действующая между двумя электронами, равна F = 2 2 = ke d , где k коэффициент, зависящий от выбора системы единиц, 9 в СИ, например, k = 9 10 м/Ф, -19 , е = 16 10 Кл заряд электрона, d среднее расстояние между взаимодействующими зарядами. Если концентрация электронов (число электронов в единице объема) равна -1 3 N, то d = N . Ускорение, приобретаемое электроном под действием силы F, равно g p = F/m, где m = -31 = 9 10 кг масса электрона. Воспользуемся для определения p формулой (2), подставив в нее g p вместо g и d вместо l: . (3) m Интересно, что это выражение полностью совпадает с тем, которое получается на основании строгих вычислений. К сожалению, вывести формулу для коэффициента преломления простым способом не удается (для этого нам пришлось бы рассчитать, как движется электрон в поле электромагнитной волны и как он излучает вторичные волны), поэтому воспользуемся готовым результатом: . (4) 2 Как и следовало ожидать (об этом мы уже говорили), частота входит в n в безразмерной комбинации p с собственной частотой плазмы. Еще одно важное свойство n , а именно обращение в 1 при бесконечно высокой частоте ( n 1 при p ), имеет простое физическое объяснение. Электрические заряды всегда связаны с материальными частицами, которые, в силу инерции, не могут колебаться с бесконечно высокой частотой. Следовательно, они не будут излучать вторичных электромагнитных волн, и исходная волна

p =

ke2 N

n = 1-

>C



2 p

>C

>C >C

4 Квант ? 6


"
пройдет сквозь плазму, как через пустое пространство ( vф = с и n = = 1). Очевидно, что стремление n к 1 при является свойством любой среды, а не только плазмы.

К В А Н T $ 2000/6

bg bg


Подставив выражение (4) для коэффициента преломления в формулу (1), легко убедиться, что vф > с, так как n < 1. Следовательно, волны в плазме распространяются со сверхсветовой скоростью! Это утверждение сначала вызывает чувство протеста ведь согласно теории относительности Эйнштейна никакое воздействие (сигнал) не может распространяться со скоростью большей с! Однако на самом деле противоречия здесь нет. Вычисленная скорость относится к волне, имеющей определенную частоту. Такая волна представляет собой бесконечную синусоиду, которая сама по себе не может передать никакого сигнала, так как ее форма с течением времени остается неизменной. Чтобы передать сигнал, на волне надо поставить какиелибо 'метки', или, как говорят, промодулировать синусоидальную волну, меняя ее параметры, например амплитуду, по определенному закону. При этом волна уже не характеризуется какой-то одной частотой, а содержит группу волн с разными частотами. Набор частотных составляющих, или спектр модулированной волны, зависит от передаваемого сигнала: чем сложнее сигнал, тем шире его спектр. Рассмотрим простейший случай, когда группа волн состоит всего из двух синусоид с одной и той же амплитудой E0 , но с разными частотами 1 и 2 . Тогда
E = E1 + E2 ,

разными скоростями: время запаздывания фазы первой волны на расстоянии х равно x vф1 , а второй волны x vф2 . В физической литературе принято использовать для описания волновых процессов несколько иные обозначения, а именно вводится так называемое волновое число k = = vф = n c . В новых обозначениях формулы (5) становятся симметричными относительно переменных t и х: E1 = E0 sin 1t - k1 x , (6) E2 = E0 sin 2 t - k2 x ,
c. где k1 = 1n 1 c и k2 = 2 2 Обозначим среднюю частоту 1 + 2 2 через 0 , а полуразность частот 1 - 2 2 через . Точно так же поступим с k . Тогда

двигаться наблюдатель вдоль оси X, чтобы он фиксировал все время одну и ту же амплитуду результирующей волны? Положив t kx = = const, находим новую скорость

vг =

dx dt

=

k

,

b

c

g

ch

c c

h h nc h

которая называется групповой скоростью. Более строго она определяется как предельный переход при 0 и k 0 , или, что то же самое, 1 2 0 и k1 k2 k0 . При таком предельном переходе дробь k становится равной производной d dk , и d vг = , (9) dk или, учитывая, что k = n c ,
vг =

h

bg



1,2

= 0 + , k1,2 = k0 + k . (7)

b

1 dk d

bg F nbg g = GH c +

=0

c

bg dn I d J K

-1

.

(10)

После несложных тригонометрических преобразований получим следующее выражение для результирующей волны:

E = A x, t sin 0 t - k0 x , (8)
где A x, t = 2 E0 cos t - kx амплитуда волны, которая уже не является постоянной величиной. Допустим, что волны (6) имеют близкие друг к другу частоты, т.е. ? 0 и k? k0 . В таком случае амплитуда A x, t меняется в пространстве и во времени очень медленно по сравнению с фазой волны. Вопрос о скорости распространения волны может быть сформулирован двояко. Если иметь в виду скорость распространения фазы, то вопрос формулируется так: с какой скоростью должен двигаться наблюдатель вдоль оси X, чтобы он регистрировал все время одну и ту же фазу волны? Положив 0 t k0 x = const и вычислив производную dx/dt, находим требуемую скорость:

bg

bgc

b

h

Видно, что только в том случае, когда n не зависит от , т.е. dn d = = 0, скорости vф и vг совпадают. В плазме это не так. Подставив в (10) формулу (4), получим

g

vг = c 1 -



2 p 2

= cn . (11)

bg

bg

Поскольку n < 1, то vг < c, т.е. сигнал проходит сквозь плазму со скоростью меньшей с, как и должно быть согласно теории относительности. Сопоставляя ф ормулы (1) и (11), находим простое соотношение, справедливое для радиоволн в плазме:
vф vг = c2 .

bg

На рисунке 1 приведены графики vф и vг . Формулами (1) и

bg
г

bg

v ф, v

где

E1 = E0 sin 1 t -

E2 = E0 sin

2

Мы направили ось X вдоль направления распространения волны и учли, что фазы двух синусоид имеют разное время запаздывания после прохождения одной и той же дистанции х, так как они распространяются с

F GH F GH

x , vф1 x v
ф2

t-

I JK I JK

v с Область непрозрачности

ф

(5)

.

vф =

dx dt

=



0

k0

=

n

ch
0

c

.

Это та самая скорость, которую мы ввели ранее в формуле (1). Теперь смысл термина фазовая скорость становится понятным. Аналогично формулируется вопрос о скорости распространения амплитуды: с какой скоростью должен

v

г

F
.1. vф vг




ПЛАЗМА

КАК

ЛИНЗА

ВРЕМЕНИ

#
(13) можно пользоваться только на достаточно больших расстояниях, так как она не учитывает, что исходная протяженность импульса 0 должна равняться 0 , а не 0, как следует из (13). На близких к х = 0 расстояниях протяженность импульса почти не меняется, что и показано двумя горизонтальными параллельными линиями на рисунке. Протяженность импульса равна, как уже отмечалось, расстоянию между двумя наклонными прямыми, выходящими из начала координат. Верхняя прямая соответствует частоте 2 , а нижняя 1 , сама же ось X соответствует центральной частоте 0 . Угол между наклонными прямыми равен

(11) можно пользоваться только в области частот > p . При < p подкоренное выражение становится отрицательным и приведенные для скоростей выражения теряют смысл. Если = p , то vг = 0 сигнал в плазме не распространяется, электромагнитное поле оказывается как бы 'привязанным' к источнику, а vф при этом становится бесконечно большой. Это означает, что все заряды в плазме колеблются под действием источника в одной и той же ф азе.

Эти формулы можно упростить, если рассматривать (как это обычно бывает) узкополосный сигнал с ? 0 . Тогда можно записать dvг vг1 , d
0

bg

vг2 -

dv

d

г 0

.


Рассмотрим распространение сигнала в виде отрезка синусоиды с частотой 0 и длительностью T0 . Такой радиоимпульс имеет спектр с эффективной шириной
2 T0 ,

Кроме того, удобно перейти от вре менных интервалов t к пространственным , умножив tзап на соответствующую групповую скорость. Воспользовавшись приведенными выше формулами и указанными упрощениями, получим



зап1

b xg bg

=-

x dv v
г0

d
г

г1 0

,
(12)

зап2

x=

x dv v
г0

=

x x

bg

=

2 dvг d
0

c

h

0

, (14)

d

.
0

симметрично расположенный относительно частоты 0 в интервале частот между 1 0 + 2 и 2 0 - 2 . Вообще г оворя, спектр импульса очень широкий и выходит за эти пределы, но основная энергия сигнала сосредоточена в интервале частот 1 2 . Отдельные спектральные составляющие радиоимпульса распространяются сквозь плазму со своими групповыми скоростями, причем чем выше частота, тем больше групповая скорость, поэтому vг1 > vг > vг2 . На отрезке пути длиной х групповые запаздывания крайних спектральных составляющих равны tзап1 = x vг1 и tзап2 = x vг2 . Будем отсчитывать эти величины от времени запаздывания на центральной частоте 0 и введем разности скоростей vг1 = vг1 vг0 и vг2 = vг2 vг0 (очевидно, что vг1 > 0, vг2 < 0). Итак,
t
зап1

Графики этих функций (наклонные прямые) представлены на рисунке 2. Разность между зап1 и зап2 определяет протяженность импульса x после прохождения дистанции х:

а их пересечение с горизонтальными линиями происходит на некотором 'граничном' расстоянии

bg

x

гр



2 dvг d

c



2 0

h

.
0

(15)

x =

bg

зап2

-

зап1



2x dv v
г0

d

г

.
0

Учитывая, что эффективная ширина спектра радиоимпульса равна 2 = = ? 2 T0 , а его начальная протяженность составляет 0 = T0vг0 , перепишем формулу для x в виде

bg

x

bg

2 dv
0

d

г

x.
0

(13)

Импульс заметно расширяется в плазме только на расстояниях x @ xгр , хотя деформация импульса начинается постепенно уже на близких расстояниях. На рисунке 2 штриховкой отмечены результаты точного расчета, который показывает детально, как расплывается импульс. Наши оценки описывают приближенно расширение импульса в той его части, где сосредоточена основная энергия сигнала.

=t

зап1

- tзап0 x

F GH F GH

1 v
г1

-
v

1 v
г0

I JK

=

= -x

г1 г1

vг0v

< 0,

t

зап2

= tзап2 - tзап0 x

1 1 - vг2 vг0

I JK

=

= -x
4*

vг2 > 0. vг0vг2

Отсюда следует, что длительность импульса возрастает с расстоянием, которое проходит электромагнитная волна в плазме, т.е. импульс расплывается. Процесс расширения радиоимпульса в плазме иллюстрируется рисунком 2, который требует некоторых пояснений. Легко сообразить, что ф ормулой

за 2
п2

0



N

0
гр

N (N ) 1

зап1

.2.


$
:
Отвлечемся на некоторое время от задачи о распространении радиоимпульса в плазме и перейдем совсем к другому вопросу дифракции электромагнитных волн. Мы увидим, что формулы (13) (15) удивительным образом совпадают с соответствующими дифракционными формулами, хотя речь идет о разных физических явлениях. Взгляните на рисунок 3, где показан результат прохождения света через отверстие в непрозрачном экране. Мы не будем рассказывать подробно, как возникает дифракция, т.е. отклонение от первоначального направления распространения света. Заметим только, что на краях отверстия в точках 1 и 2 возникают краевые волны (они показаны условно в виде концентрических окружностей). В результате интерференции (взаимодействия) краевых волн друг с другом и с первичной волной возникает сложное распределение интенсивности в поперечном сечении пучка света (заштрихованные области). Точный расчет показывает, что на больших расстояниях x @ xдифр первичный пучок параллельных лучей расширяется в пределах угла дифр = , (16) y0 где длина световой волны, y0 ширина отверстия в экране. Ширина пучка (расстояние между наклонными прямыми) равна x yx = . (17) y0 Дифракция является следствием волновой природы света, поэтому угол дифракции дифр пропорционален длине волны . На близких расстояниях x ? xдифр расширение пучка происходит очень незначительно, что и отмечено начальными участками горизонтальных прямых, проведенных жирными линиями. Результаты точного расчета распределения интенсивности в поперечном направлении показаны штриховкой. Граничное значение x дифр , начиная с которого в полной мере проявляются дифракционные явления, определяется из условия пересечения горизонтальных прямых с наклонными линиями y12 x = + x y0 : ,

К В А Н T $ 2000/6

>C

O Область x ? xдифр называют ближней зоной, а область x @ x дифр дальней зоной. Вернемся снова к радиоимпульсу в плазме. Даже бегON лого взгляда на риO0 дифр сунки 2 и 3 достаNдифр N точно, чтобы увидеть, что расплывание импульса в плазме за счет дисперсии и расширение пучка света вследствие дифракции происходят аналогичным обра- .3. зом. Это подтверждается сравнением примере простого оптического устформул (13) и (17), а также (14) и ройства собирающей линзы (16), (15) и (18). Видно, что величи(рис.4). Пучок параллельных луна 2 dvг d в плазменных фор0 чей преломляется в линзе таким обмулах играет роль длины волны в разом, что все лучи пересекаются в дифракционных формулах, а исхододной точке F фокусе линзы. Таная пространственная протяженность ков ход лучей без учета дифракции импульса 0 соответствует ширине света, или, как говорят, в приблиотверстия y0 . Таким образом, можжении геометрической оптики. Одно ввести 'дисперсионную длину нако мы уже знаем, что ограниченволны': ные размеры отверстия в экране приводят к дифракционному раз дисп = 2 dvг d . бросу лучей на угол дифр = y0 . 0 Поперечное сечение пучка лучей в Подчеркнем, что это чисто формальфокусе линзы с учетом дифракции ная аналогия: описывая деформаравно цию радиоимпульса в плазме, мож но пользоваться дифракционными yфок = F дифр = F y0 . (20) формулами, если произвести в них замену Действие линзы (фокусировка) ока дисп , y0 0 . (19) жется эффективной, если yфок?y0 , или

?

D

?

D


Формулы соответствия (19) описывают пространственно-временнэю аналогию между процессами дифракции и дисперсии. Но дело не только в формальном сходстве. Эти соотношения наводят на мысль, что если в каком-нибудь оптическом приборе происходят пространственные преобразования пучков света, то, используя дисперсию, можно повторить те же преобразования с радиоимпульсами в плазме, но не в пространстве, а во времени. Иными словами, формулы (19) указывают на возможность созда ния 'временных оптических приборов'. Покажем, как это делается, на

F?

y



2 0

.

(21)

>C
x

дифр

=

y



2 0

.

(18)

Из сравнения (21) с (18) следует, что линза хорошо работает только в ближней зоне, где F ? xдифр . Не представляет труда определить, как возрастет интенсивность света в фокусе, считая, что потерь энергии в линзе не происходит. Поскольку интенсивность света равна энергии, приходящейся на единицу площади, коэффициент усиления интенсивности с учетом дифракции Qдифр будет равен отношению площадей поперечного сечения пучка света на входе в линзу и в ее фокальной плоскости, которые, в свою очередь, пропорциональны квадрату попереч-


ПЛАЗМА

КАК

ЛИНЗА

ВРЕМЕНИ

%

O 1 O0 0 0 !

2 дифр .

Oфок .

N

. 1

N

2



.4.

.5. (' ')

ных размеров:
Qдифр y y
2 фок 2 0



F

4 y0 22

.

(22)

Чем короче фокусное расстояние, тем сильнее возрастает интенсивность. В предельном случае, когда фокусировка происходит на краю ближней зоны, F = x дифр и Qдифр 1 усиления интенсивности не происходит. При F > x дифр пучок расширяется так сильно, что его интенсивность становится меньше исходной. Перейд ем к к онструи ровани ю 'линзы времени'. Рассмотрим распространение нескольких радиоимпульсов разной частоты. На рисунке 5 показаны три таких импульса. Выберем частоты импульсов таким образом, чтобы сначала был выпущен самый низкочастотный импульс ( = 2 ), который, согласно рисунку, имеет наименьшую групповую скорость. На определенном расстояни и х = F второй и мпульс ( 0 > 2 ) догонит первый импульс, и в той же точке третий, самый быстрый, импульс ( 1 > 0 ) догонит первые два. Таким образом, три импульса объединятся в один, длительность которого меньше, чем общая исходная протяженность всех сигналов. Изменение частоты при переходе от одного импульса к другому можно сделать плавным, тогда мы получим од и н частотно-модулированный импульс протяженностью 0 (этот переход показан на рисунке пунктиром). Мы уже знаем, что за счет дисперсии он будет расширяться на
5 Квант ? 6

угол дисп 0 и в точке F его протяженность буд ет равна F F дисп 0 . Импульс окажется сжатым ('сфокусированным'), если F? 0 . Для этого дистанция, проходимая в плазме, должна быть не очень велика: F? 2 дисп (сравни0 те с (21)). Коэффициент сжатия радиоимпульса за счет дисперсии q дисп будет равен 2 0 q дисп 0 (23) F F дисп . Эта формула аналогична (22), но в оптической линзе мы учитывали площади сечения пучка, которые пропорциональны квадрату размеров, а здесь рассматриваются линейные величины протяженности импульсов. Формула (23) показывает также, как возрастает мощность сжатого импульса, поскольку вся исходная энергия теперь сосредоточена в импульсе меньшей протяженности (потерями энергии в плазме часто можно пренебречь). Эффект сжатия импульса ('временнбя фокусировка') используется для увеличения мощности радиосигнала при передаче его через ионосферу путем специального подбора закона частотной модуляции импульса. Дисперсия сигналов играет важную роль при наблюдении естественных импульсных излучателей пульсаров. Пульсары это источники к осми ческ ого рад и о и злучени я с очень высокой стабильностью периода. Импульс пульсара возникает практически одновременно в широком интервале радиоволн. Однако при прохождении через атмосферу

пульсара и межзвездную плазму низкочастотная часть излучения запаздывает относительно высокочастотной, поэтому высокочастотные импульсы приходят к наблюдателю раньше низкочастотных. По величине запаздывания импульсов судят о расстоянии до пульсара и о концентрации электронов на луче зрения от источника к наблюдателю. Таким образом исследуется распределение электронов в межзвездном газе Галактики. В заключение сделаем еще одно замечание. Рассмотренная пространственно-временнбя аналогия не является специ ф и ческ и м свойством плазмы. В любой среде с такой же дисперсией радиоимпульс будет деформироваться по тому же самому закону. Оказывается, такие среды могут быть изготовлены достаточно просто искусственно. Например, в диапазоне сверхвысоких частот можно воспользоваться волноводом. В более низкочастотном диапазоне, где вместо волновод ов и спользуются линии передач из емкостей и индуктивностей, также можно подобрать закон дисперсии, обеспечивающий необходимую деформацию радиоимпульсов.