Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/04/41.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:56 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:16 2012 Кодировка: Windows-1251

ШКОЛА

В

'КВАНТЕ'

"
Для нас этот закон очень важен: в формуле (18) именно он позволил раскрыть скобки. Давайте его докажем. Геометрически умножение на z означает последовательное (в любом порядке) применение гомотетии с коэффициентом |z| и поворота вокруг начала координат на угол . При гомотетии параллелограмм переходит в параллелограмм. При повороте то же самое, параллелограмм переходит в параллелограмм! А это и есть формула (21)! (Другими словами, сложить сначала два вектора z1 + z 2 (рис.10) и увеличить затем длину получен-

Геометрический способ определения комплексных чисел и операций над ними
С алгебраическим способом введения комплексных чисел можно познакомиться по статьям 'Комплексные числа' (Приложение к журналу 'Квант' ?2 за 1994 г.), 'Многочлены деления круга' ('Квант' ?1 за 1998 г.) и 'Суммы квадратов и целые гауссовы числа' ('Квант' ?3 за 1999 г.). Сейчас нас интересует другой геометрический способ. Рассмотрим плоскость, в которой задана система координат (рис.8). Любую точку z

абсолютной величиной) числа z, аргументом числа z. Обозначения: r = |z|, = = arg z. Сумму z 1 + z 2 любых двух точек z 1 и z 2 определим как сумму векторов, т.е. по правилу параллелограмма (рис.9). Произведение z1 z2 чисел, полярные координаты

z+z z


z

z(z+z )=zz+zz
0

y r j

z
Рис. 9

zz z+z

x
Рис. 8 плоскости можно задавать не только декартовыми координатами (x; y), но и полярными координатами ( r ; ), где r = = x + y расстояние от точки z до начала координат; угол, на который можно повернуть против часовой стрелки положительную полуось числовой прямой до того положения, при котором она пройдет через точку z. Как видим, всегда r 0, причем r = 0 только при z = 0. Кроме того, для всех z 0 величина определена с точностью до кратных 360њ, так что в интервале 0 < 360њ величина определена однозначно. Величину r называют модулем (или
2 2

которых суть r1 ;

как точку с полярными координатами

d

1

i иd

r2 ;

2

i

, определим

z zz z 0
Рис. 10 ной суммы в |z| раз, осуществив к тому же поворот на угол , это все равно что сначала каждый из векторов z 1 и z 2 увеличить в |z| раз и повернуть на угол , а уже затем сложить полученные векторы.)

rr2 ; 1 + 2 (модули перемножаем, аргу1 менты складываем). Очевидно, для точек вещественной числовой прямой вышеопределенные операции сложения и умножения не выводят за пределы этой прямой и соответствуют обычным операциям сложения и умножения вещественных чисел. (Проверьте свойства умножения, особенно правило 'минус на минус дает плюс'.) Из основных свойств операций умножения и сложения для комплексных чисел неочевиден только распределительный закон: z z1 + z

d

i

d

2

i

= zz1 + zz 2 .

(21)

Случай в газовой туманности
(Начало см. на с. 35) что сравнимо со средней тепловой скоростью движения молекул. Поэтому к проведенному выше вычислению силы сопротивления нужно тоже относиться лишь как к оценке по порядку величины. Зато уж точно взаимодействие звездолета с облаком является, как говорят физики, свободномолекулярным . Действительно, средняя длина свободного пробега молекул между их столкновениями зависит от концентрации молекул n и поперечного сечения их взаимо-

действия 2rм n= m
; 10 ;

Подставляя сюда
H2

ch
3

2

так: ;

n 2rм

ch j

1

2

.

равно ;1017 м . кг 10 м 4 10 м3 Это заметно больше принятой толщины газового облака; значит, затухание колебаний в его пределах будет незначительным. Однако вспомним T0 : долго же колебаться звездолетам! Вы же без колебаний изучайте физику и подписывайтесь на 'Квант'. l;
4 2 -16

106 кг

-16

кг м

e2

1,67 10

-27

кг ;
10

; 3 10
-10

м
7

-3

м, получим ; 3 10 м, и rм ; 3 10 что много больше размеров звездолета. Значит, молекулы ударяются о его поверхность независимо друг от друга (не образуя сплошной среды). Характерное расстояние, на котором заметно убывает энергия второго звездолета (оно входит в показатель экспоненты в равенстве (6)),