Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/04/24.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:55 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:21:42 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: треугольник

"

КВАНT 2000/?4

a) прямые DD , EE , FF имеют общую точку, причем эта точка, точка пересечения прямых AA , BB , CC и точка пересечения медиан треугольника АВС лежат на одной прямой; б) если в качестве прямых AA , BB , CC взяты высоты треугольника АВС, то точка пересечения прямых DD , EE , FF совпадает с центром окружности Эйлера (окружности девяти точек) треугольника АВС; в) если прямые AA , BB , CC биссектрисы треугольника АВС, то их общая точка, общая точка прямых DD , EE , FF и точка пересечения прямых, проходящих через вершины треугольника АВС и делящих его периметр пополам (точка Нагеля), лежат на одной прямой; г) если прямые AA , BB , CC делят периметр треугольника АВС пополам, то точка пересечения прямых DD , EE , FF совпадает с центром масс контура треугольника АВС. а) Точку пересечения прямых AA , BB , CC обозначим Н, середины отрезков АН, ВН, СН соответственно K, L, M (см. рисунок). Воспользуемся теоремой Гаусса: если у четырехугольника нет параллельных сторон, то середины его диагоналей и середина отрезка, соB единяющего точки пересечения противоположных сторон четырехугольника, лежат L на одной прямой. (До)? кажите ее самостояE D .? тельно!) Применяя эту теорему к четырехугольни+? ,? H ку AHB C , приходим K -? M к выводу, что точки D, D , М лежат на C одной прямой. A *? F Точно так же на одной прямой лежат точки Е, E , K и F, F , L. Но отрезки DM, EK, FL соединяют, соответственно, середины противолежащих сторон и середины диагоналей четырехугольника АВСН, поэтому эти отрезки имеют общую точку, совпадающую с центром системы четырех равных точечных масс, три из которых находятся в вершинах треугольника АВС, а четвертая в точке Н (теорема СимсонаЖергона). Так как центр масс системы А, В, С находится в точке пересечения медиан треугольника АВС, то центр масс системы А, В, С, Н лежит на отрезке, соединяющем точку пересечения медиан треугольника АВС с точкой Н, и делит этот отрезок в отношении 3:1 (считая от точки Н). б) Если Н точка пересечения высот треугольника АВС, то около четырехугольника ABA B можно описать окружность с центром в точке D, поэтому треугольник ADB равнобедренный, а так как D середина отрезка A B , то DD A B . Аналогично, EE B C и FF AC , т.е. точка пересечения прямых DD , EE , FF это центр окружности, описанной около треугольника A B C , а эта окружность и есть окружность Эйлера треугольника АВС. в) Воспользуемся известной теоремой: центр окружности, вписанной в треугольник, совпадает с точкой Нагеля треугольника, вершинами которого служат середины сторон исходного треугольника.

Следовательно, если Н центр вписанной в треугольник АВС окружности, то Н точка Нагеля треугольника DEF. Но треугольник DEF гомотетичен треугольнику АВС с центром гомотетии в точке пересечения медиан обоих треугольников и коэффициентом гомотетии 1/2, поэтому точки Нагеля обоих треугольников и точка пересечения их медиан лежат на одной прямой. Ранее было доказано, что отрезок, соединяющий точку Н с точкой пересечения медиан треугольника АВС, делится точкой пересечения прямых DD , EE , FF в отношении 3:1 (считая от точки Н), так что эта же точка делит отрезок, соединяющий точку Н с точкой Нагеля треугольника АВС, в отношении 1:3 (тоже считая от точки Н). Можно показать, что эта же точка делит пополам отрезок, соединяющий центр вписанной в треугольник АВС окружности с центром масс контура треугольника АВС. г) Центр масс контура треугольника совпадает с точкой пересечения биссектрис треугольника, вершинами которого служат середины сторон исходного треугольника (см., задачу М1016). Из этого и указанных выше соотношений следует нужное доказательство. Ясно также, что центр масс контура треугольника делит пополам отрезок, соединяющий точку пересечения биссектрис треугольника и точку Нагеля. И.Вайнштейн М1714. Докажите, что каждое из уравнений а) x + 1 y - 1 = z , б)
2 2 2

z , где x y , в*) имеет бесконечно много решений в натуральных числах х, у и z.

e e

je j x - 1je y - 1j = z e x + 1je y + 1j =
2 2 2 2

2

, где x y ,
2

а) Домножим обе части очевидного тождества

b

2u + 1

g

2

- 1 = 4u u + 1

b

g

(1)
u.

на u + 1; кроме этого, считая u > 0, положим t = Подставив u = t 2 , получим

e

t +1

2

jFH e

2t + 1

2

j - 1IK = e2te
2

t2 + 1

jj

2

.

(2)

А теперь возьмем в качестве t любое целое положительное число, положим
2 x = t, у = 2t + 1, z = 2t t + 1

e

2

j

(3)

и задача а) решена. Аналогично решается и задача б): рассмотрев тождество (1) при u < 0 и полагая t = - u , мы, рассуждая как и выше, придем к тождеству

e

t -1

2

Решая а) и б), можно было вместо (1) воспользоваться тригонометрией например, так:
1 - cos 2 x = 1 - 2 cos - 1
2

jFH e

2t - 1

2

j - 1IK = e2te
2

t2 - 1

jj

2

.

(4)

e1

- cos x 1 - cos 2 x = 4 cos2 x 1 - cos 2 x .

2

je

e

2

2

j

j

2

= 4 cos x 1 - cos x ,

2

e

e

2

j

j

2

Подставив cos 2 x = 2 cos2 x - 1, получаем (4) при u = 2 = t 1 . Значит, (4) верно при всех u: многочлены,