Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/03/59.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:14 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:15:30 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: arp 220

ОЛИМПИАДЫ

59
К сожалению, невозможно в короткой статье рассказать о каждом дне летней школы. Поэтому ограничимся лишь задачами заключительной олимпиады:
1. Некто решил поделить свои сбережения поровну между своими сыновьями и завещал старшему 1000 рублей и 1/8 часть остатка, следующему 2000 рублей и 1/8 часть остатка, третьему 3000 рублей и 1/8 часть остатка, и так далее. Определите число сыновей и размер завещания. 2. Уравнение x2 + bx + c = 0 имеет два целых корня, причем bc = 1996. Докажите, что по крайней мере один из корней меньше нуля. 3. На доске было написано 5 чисел. Сложив их попарно, получили следующие 10 чисел: 0, 2, 4, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 15. Какие числа были написаны? 4. Разрежьте параллелограмм на две равные части, из которых можно сложить ромб. 5. Найдите все целые n, при которых число n + 3 6. Число 51,2 трижды увеличивали на одно и то же число процентов, а затем трижды уменьшали на то же самое число процентов. В результате получилось число 21,6. На сколько процентов увеличивали, а затем уменьшали это число? 7. Какие значения может принимать сумма цифр числа, делящегося на 11? 8. Квадратная комната разгорожена перегородками, параллельными стенам, на несколько меньших квадратов. Длина стороны каждой комнаты целое число метров. Может ли сумма длин всех перегородок равняться 1998 метрам? 9. Существуют ли натуральные числа х, у, z такие, что x19 + y19 = z 96 ? 10. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса CD. Прямая, проходящая через точку D перпендикулярно CD, пересекает АС в точке Е. Докажите, что ЕС = 2AD.

Костромская летняяшкола
С 1 по 24 августа 1998 года в одном из санаториев Костромы учились и отдыхали школьники 610 классов работала Костромская летняя многопредметная школа (ЛМШ). Этой школе уже шесть лет. Основные задачи ЛМШ дополнительное образование школьников и развитие интереса к знаниям. В этом году работали отделения математики, физики, программирования, химии, биологии и экологики. Каждый учебный день с завтрака до обеда идут занятия, посещение которых обязательно. После обеда проводятся лекции, консультации и дополнительные занятия для желающих. После ужина игры 'Что? Где? Когда?', 'Супервикторина', 'Завалинка', разнообразные спортивные соревнования. 24 дня смены были разделены на день заезда, день вступительной олимпиады, четыре пятидневки, в каждой из которых 4 дня учебных и один выходной, день консультаций перед зачетом и последний день день зачета. Правила летней школы гласят: не сдавшие зачет не принимаются в ЛМШ на следующий год, сдавшие на 5 получают персональное приглашение. Отбор учащихся происходит по конкурсу вступительные задания рассылаются по всей области. При этом учитываются результаты выступлений на олимпиадах, математических боях и т.п. В прошлые годы в школе было очень много преподавателей, работавших в Кировской ЛМШ. Были они и в этом году, но появились уже и костромские преподаватели, способные работать в ЛМШ. В будущем ситуация еще улучшится, поскольку каждый год в ЛМШ есть стажеры студенты, помогающие преподавателям проводить занятия. Набравшись опыта, многие из них в будущем приедут в качестве преподавателей. Автор этой заметки проводил занятия по математике в группе восьмиклассников. Поэтому речь пойдет о них (впрочем, в капле воды отражается море). Основную массу составляли ребята из Костромы. Только двое были из сельских школ. (Обычно в ЛМШ сельских школьников больше школа старается максимально охватить территорию области.) Оба чувствовали себя поначалу очень скованно. Один так по-настоящему и не включился в работу, хотя и присутствовал на всех занятиях, стараясь выполнять посильные задания. Другой смог преодолеть трудности и очень хорошо проявил

себя занимался в коридорах, на подоконниках, везде находил тихий угол для размышлений. (А найти было непросто полторы сотни школьников заполняли все предоставленное им пространство.) Вначале восьмиклассников было 15 человек, но после первых двух дней занятий одна девочка уехала домой готовиться к спортивным соревнованиям, поскольку поняла, что совмещать жизнь и учебу в ЛМШ с другими занятиями невозможно. Другая попыталась совмещать учебу с уроками танцев, но, съездив один раз, сделала выбор в пользу ЛМШ. В первый день занятий (2 августа) была проведена вступительная олимпиада. Ее цель выявить начальный уровень подготовки школьников и сформировать учебные группы. На следующий день занимались комбинаторикой и вписанными углами. Комбинаторика традиционная тема в любом классе ЛМШ. Вписанные углы, казалось бы, должны изучаться в течение учебного года в общеобразовательной школе. Но который год подряд выясняется, что школьники не только не умеют доказывать теорему о вписанном угле, но вообще ничего не помнят ни о ней, ни о ее многочисленных следствиях (угол между хордой и касательной, между двумя хордами, между двумя секущими, признаки того, что четырехугольник можно вписать в окружность, и т.д.). Вообще, сейчас сложилась парадоксальная ситуация: благодаря ЛМШ, матбоям и кружкам, школьники порой знают олимпиадные задачи гораздо лучше, чем школьную программу. Например, я спросил восьмиклассников, как вывести формулу для решения квадратного уравнения. Ни один не смог это сделать! Но после занятия некоторые из них задержались, пытаясь решить квадратное уравнение, и на следующий день двое справились с задачей! Та же история повторилась со средней линией трапеции. Только один из восьмиклассников справился с ней. Он двумя способами записал формулу площади трапеции: S = a + b h 2 и S = a+mh 2 m+b h 2 + , где h = 2 2 высота трапеции, a, b, m ее основания и средняя линия, S площадь. Приравняв, он получил равенство

FH

5

IK FH

n + 1 целое.

2

IK

b

g

b

b

g

g

m+b + , 2 2 откуда m = a + b 2 . Таким образом, к стандартной задаче он вынужден был подойти творчески (потому что не знал стандартного решения). a+b =

a+m

В заключение замечу, что костромская ЛМШ активно сотрудничает со многими другими летними школами (Киров, Белорецк, Ярославль список можно продолжить), и приведу координаты центра 'Эврика-М', который организует ЛМШ: Адрес: 156019, г.Кострома, ул.Фестивальная, д.29. Телефон: 22-71-41. Электронная почта: root@evrika.kti.kostroma.su или scmen@kmth.ru Д.Калинин

b

g