Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/02/51.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:06 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:16:14 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: легирование

ОЛИМПИАДЫ
представлено в виде Ki min = Mga , где g = 9,81 м с2 ускорение свободного падения. Найдите коэффициент , выразив его через угол наклона и коэффициент r. d) (2 балла) Если выполнено условие пункта с), то кинетическая энергия Ki будет приближаться к постоянной величине Ki 0 по мере того, как призма катится вниз по наклонной плоскости. Приняв, что этот предел существует, покажите, что Ki 0 можно записать в виде Ki 0 = kMga, и найдите коэффициент k, выразив его через и r. е) (2 балла) Вычислите с точностью до 0,1њ значение минимального угла наклона 0 , при котором неравномерное качение, начавшись, будет продолжаться бесконечно. Задача 2. Вода под ледяным щитом Ледяной щит это толстый слой льда (толщиной до нескольких километров), который покоится на поверхности земли, простираясь горизонтально на десятки и сотни километров. В данной задаче рассматривается таяние льда и поведение воды под слоем льда, находящимся при температуре, близкой к точке плавления. Будем считать, что в таких условиях лед создает давление как вязкая жидкость, но деформируется как хрупкий материал, главным образом путем вертикального смещения. Для решения данной задачи вам известны следующие данные: 3 3 плотность воды в = 1,000 10 кг м , 3 3 плотность льда л = 0,917 10 кг м , удельная теплоемкость льда cл = 3 = 21 10 Дж кг К , удельная теп, Lл = лота плавления льда 5 = 3,4 10 Дж кг , плотность пород и 3 3 магмы = 2,9 10 кг м , удельная теплоем кость пород и м агм ы c = = 700 Дж кг К , удельная теплота плавления пород и магмы L = 5 = 4,2 10 Дж кг , температура плавления льда tл = 0 њС (она постоянна), средняя мощность теплового потока через поверхность земли J = = 0,06 Вт м 2 . а) (0,5 балла) Рассмотрите толстый слой льда, расположенный на поверхности земли, через которую поступает средний поток тепла. Пользуясь данными, вычислите толщину d тающего за год слоя льда. b) (3,5 балла) Рассмотрим теперь верхнюю поверхность щита. Пусть поверхность земли наклонена под углом к горизонту, а верхняя поверхность щита образует угол с горизонтом, как показано на рисунке 2. Толщина льда в точке х = 0 равна h0 . Таким образом, нижняя и верхняя поверхности щита могут быть описаны уравне-

y S

y = h



I

y=0

x=0

G x
Рис.4. Вертикальный разрез по средней плоскости водяного конуса внутри ледяного щита; S поверхность льда, W вода, G земля, I ледяной щит

Рис.2. Поперечное сечение ледяного щита над наклонной земной поверхностью; S поверхность льда, G земля, I ледяной щит

ниями y1 = x tg , y2 = h0 + x tg . Получите формулу для давления р у нижней кромки щита в зависимости от горизонтальной координаты х. Найдите соотношение между углами и , при котором вода в слое между льдом и землей не будет двигаться ни в одном направлении. Покажите, что это условие имеет вид tg = s tg , и найдите коэффициент s.
y y= 0,8x

ражение для формы верхней поверхности ледяного щита после установления гидростатического равновесия и изобразите эту поверхность. d) (5 баллов) Ежегодная экспедиция международной группы ученых исследует ледовый щит в одном из районов Антарктики. Обычно этот район представляет из себя обширное плато, но в

y h

x=r

S I

y=h



G I

W h G
x

>

C

y=0

x

x=0

x=0
Рис.5. Вертикальное центральное сечение конической впадины в ледяном щите; S поверхность льда, G земля, I ледяной щит, М магма, W вода

>

C

Рис.3. Поперечное сечение ледяного щита, покоящегося на наклонной поверхности земли; вода под щитом находится в состоянии равновесия; G земля, I ледяной щит

Линия, описываемая уравнением y1 = 0,8х на рисунке 3, показывает поверхность земли под ледяным щитом. Толщина льда при х = 0 равна h0 = 2 км. Полагая, что вода под щитом находится в равновесии, изобразите на графике линию y1 и добавьте линию y2 , показывающую верхнюю поверхность льда. с) (1 балл) Внутри толстого слоя льда, находящегося на горизонтальной поверхности земли, первоначально имевшем постоянную толщину D = = 2,0 км, в результате таяния льда внезапно формируется коническая полость высотой Н = 1,0 км и радиусом r = 1,0 км, полностью заполненная водой (рис.4). Будем считать, что остальной лед реагирует на образование этой полости только вертикальным смещением. Запишите аналитическое вы-

этот раз ученые обнаружили глубокую кратерообразную впадину в форме перевернутого конуса глубиной h = 100 м и радиусом r = 500 м (рис.5). Толщина льда в этом месте 2000 м. После дискуссии ученые пришли к выводу, что скорее всего под щитом произошло небольшое вулканическое извержение. Небольшой объем магмы (расплавленной породы) проник через нижнюю кромку ледяного щита, затвердел и остыл, растопив некоторое количество льда. Ученые пытаются оценить объем этого 'вторжения' (проникновение магмы под ледяной щит) и объяснить, что произошло с растопленной водой, следующим образом. Предположим, что лед двигался только вертикально. Будем считать также, что вначале магма была в полностью расплавленном состоянии при темпера-

#