Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/02/58.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:07 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:16:16 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: arp 220

Замечаем, что значение k = 1 не удовлетворяет второму уравнению системы, поэтому в дальнейшем полагаем k 1 . Подk -1 ставив выражение р = во второе уравнение системы, 10k 10k 5 получаем 2 = + 1. Решение этого уравнения: k = k -1 k -1 3 = 4. Следовательно, р = , и горшок меда был съеден Пя40 8 1 = минуты. тачком с Винни-Пухом за p 1+ k 3 2. Пусть Иван купил х больших и х маленьких раков. Это стоит 5х + 3х = 8х рублей. Пусть Степан купил у больших и 2у маленьких раков. Это стоит 5у + 3 2 y = 11у рублей. Так как затраченные суммы одинаковы, то 8х = 11у. Отсюда следует, что х делится на 11, т.е. х = 11k. Подставляя это значение в приведенное выше равенство, получаем 88k = 11у, откуда у = 8k. В общем, каждый приятель затратил 88k рублей, где k некоторое натуральное число. Однако Иван расплатился одной сторублевкой, и этого хватило, поэтому 88k 100, и k = 1. Итак, раки стоили 88 рублей, поэтому 8х = 11у = 88, откуда х = 11, у = 8, 2у = 16. Таким образом, Иван купил 11 больших и 11 маленьких раков, а Степан 8 больших и 16 маленьких. Разберемся со сдачей. Ивану полагается 100 88 = 12 рублей сдачи, которая была выдана натурой, т.е. раками. Такая сумма может быть представлена в ракообразном виде единственным образом 4 маленьких рака. Степан платил десятками, и, естественно, дал ближайшее значение, большее 88 и кратное 10, т.е. 90 рублей. Ему полагается 90 88 = 2 рубля сдачи, что в жабьем эквиваленте представляет ровно 2 жабы. Итак, приятели унесли с рынка (с учетом покупки и сдачи) всего 11 + 11 + 8 + + 16 + 4 + 2 = 52 животных. Рис. 1 3. См. рис.1. 4. Так как любое натуральное число а в системе счисления с основанием а записывается как 10, то я задумал число 10. 5. Повернуться должны Джо, Смит и Сэм.

7. Поскольку точка R делит пополам отрезки СЕ и BD, то CBED параллелограмм (рис.2). Отрезок QS средняя линия треугольника CAD, он параллелен CD и равен его половине. А так как CD равен и параллелен ВЕ, то QS средняя линия и в треугольнике BRE. Значит, RQ = QB И RS = SE. Из подобия треугольников CQD и PQB следует, что ВР = 1 1 1 1 = CD = BE , аналогично ЕТ = CD = BE . Следова3 3 3 3 тельно, точки Р и Т делят отрезок ВЕ на три равные части. 8. Заменим в первой скобке с на (а + b) и z на (х + у). Получим a y x + y b x x + y + a + b xy = a 2 xy 22 22 2 2 22 2 a y b x b xy + a xy + b xy + 2abxy = a y + +2abxy b x = ay - bx . Теперь заметим, что вторая скобка получается из первой заменой а на x, b на у, с на z, поэтому вторая скобка равна 2 xb - ya . 4 Произведение обеих скобок равно ay - bx , что является четвертой степенью целого числа, в силу целочисленности чисел a, b, x и у. 9. Попытаемся определить момент времени, в который были включены 'зверьки'. Так как они были включены одновременно и одновременно достигли трехлетнего возраста, то для x y первого зверька можно написать уравнение + = 3. 3 6 Здесь х продолжительность 'дневного' времени, т.е. времени от 7 до 22 часов, а y продолжительность 'ночного' времени за период достижения 'трехлетнего' возраста. Для
2 2 2

b

g

b

g

2

b

gb

g

2

b

g

2

b

g

b

g

A

T P B Q R S

E

D

Рис. 2

C
x

Конкурс 'Математика 68'
(см. 'Квант' ?5 за 1998 г.) 6. Пусть n количество журналистов, тогда между собой они n n -1 совершили рукопожатий. Действительно, каждый из 2 них совершил (n 1) рукопожатие, но число n(n 1) следует разделить на 2, так как при таком способе подсчета мы каждое рукопожатие посчитали дважды: за одного участника и за другого. Так как было совершено 80 рукопожатий, то n n -1 80. Наибольшее n, при котором выполняется это 2 13 13 - 1 неравенство, равно 13, так как = 78; в этом случае 2 президент совершил 80 78 = 2 рукопожатия, т.е. он знаком с двумя журналистами. Меньше 13 журналистов быть не может: если 4х меньше 13, то между собой они совершат не 12 12 - 1 66 рукопожатий, и президент должен больше чем 2 пожать руки не менее чем 80 66 = 14 журналистам, а их не более 12.

второго зверька уравнение будет проще:

b

g

b

g

КВАНT$ 1999/?2

b

g

b

g

y + = 3, или х + 4 4 +у = 12. Первое уравнение можно переписать в виде 2х + у = = 18. Если из этого уравнения вычесть второе, то мы получим х = 6. Очевидно, что и y = 6. Поскольку продолжительность как ночного, так и дневного времени в сутках больше 6 часов, то включение зверьков могло произойти только в два момента времени: или за 6 часов до начала 'ночного' времени, т.е. в 16 часов, или за 6 часов до начала 'дневного' времени, т.е. в 1 час ночи. Теперь рассмотрим моменты 'пятилетия' наших зверьков. Для второго зверька 'пятилетие' наступает через 5 4 = 20 часов независимо от времени включения. Найдем момент 'пятилетия' для первого зверька в случае, если он был включен в 16 часов. За 6 'дневных' часов от 16 до 22 он повзрослеет на 6/3 = 2 года. За 9 'ночных' часов от 22 до 7 он повзрослеет еще на 9/6 = 1,5 года. Итого на 3,5 года. Осталось ему повзрослеть в 'дневные' часы на 1,5 года, на что ему понадобится 15 3 = 4,5 часа. Суммарное , время равно 6 + 9 + 4,5 = 19,5 часов, что меньше 20 часов для второго зверька. Если же зверьки были включены в 1 час ночи, то первый

58