Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/02/kv0299jukov.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:08 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:33:37 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: столовая гора

для мистера Холмса
А.Жуков
ОХ, МИСТЕР ХОЛМС, ДОКТОР ВАТСОН

Задача

потряс в воздухе бумажкой, испещренной многочисленными знаками. Я всегда удивлялся вашей необыкновенной способности находить решения в самых, казалось бы, безвыходных ситуациях, но боюсь, что в данном случае все ваше волшебное искусство окажется бессильным. Мой дорогой Ватсон, Холмс не спеша отвел в сторону трубку и выпустил сизое колечко дыма, право же, не стоит впадать в излишнее возбуждение от пустякового ребуса, в котором вместо букв следует подобрать всего лишь парочку-другую цифр из ограниченного набора. Жизнь нам преподносит гораздо более содержа-

тельные загадки, достойные сопереживания и беспокойства истинного джентльмена. Но Холмс, здесь встречаются не только буквы, но и звездочки! Впрочем, вы опять меня поражаете как же вы догадались, что речь идет именно о числовом ребусе? Это элементарно, Ватсон. Вы же целый час сосредоточенно читаете журнал 'Квант', на странице которого помещен предмет вашего пристального внимания, а именно: расшифровать пример на умножение , Ч * ***** OX AX

КВАНT 1999/?2

"


И что же в этом примере прямо скажем, для младших школьников вызвало у вас столь непреодолимые трудности? Видите ли, Холмс, в ребусе на месте звездочек могут стоять произвольные ненулевые цифры. Мне ли вам объяснять, что в данном случае мы сталкиваемся с задачей огромного числового перебора? Похоже, здесь нужно рассмотреть в общей сложности где-то около полумиллиарда вариантов. Бедные детишки! Хм, Ватсон, кто много перебирает, тот мало думает. Холмс окутал себя еще одной порцией табачного дыма. Совсем нет необходимости рассматривать все мыслимые варианты. Например, со всей определенностью можно утверждать, что двухзначное число ОХ (буква О кодирует цифру десятков, а буква Х цифру единиц) кратно числу 32. Холмс, вы хотите сказать, что число ОХ может принимать всего лишь одно из трех значений: 32, 64 и 96? Простите, но я не пойму, на чем основана столь смелая догадка. Это не догадка, а непреложный математический факт. Запишем первый множитель в виде а + 10 -5 B , где а ненулевая цифра, а В целое пятизначное число. Из условия задачи следует, что среди делителей В не могут одновременно присутствовать цифры 2 и 5. Несложно догадаться, что число В должно быть нечетным, тогда 5 число ОХ должно делиться на 2 = 32. 5 В таком случае число В должно быть кратно 5 = = 31 25 . Браво, Ватсон. Ваше утверждение я бы сформулировал несколько точнее: B = 3125 k , где k некий нечетный множитель. Кстати, что следует из того, что В число пятизначное? Это условие накладывает дополнительные ограничения на множитель k. В частности, поскольку 3125 3 < 4 4 < 10 и 3125 4 > 10 , то k > 4. Теперь вам должно быть понятно, почему ненулевая цифра а в первом множителе меньше тройки. А что, это действительно так? Посудите сами, Ватсон: OX a + 10 -5 B > -5 5 5 > 2 a + 10 5 k = 32a + k. При k > 4 последнее выражение может быть двухзначным числом лишь когда а = 1 или а = 2. Ох, это великолепно, Холмс! Я думаю, что с дальнейшим перебором уже несложно справиться в течение одного вечера.

e

j

e

j

Если только вам нечем заняться, Ватсон. Вечернее время все же лучше посвящать более содержательным занятиям. Чем решать головоломки? Чем осуществлять бездумный перебор. Холмс, неужели вам еще что-то известно о числах этого ребуса? Да. Например, число ОХ равно в точности 64. Хм, вполне может быть, но, по правде говоря, я не представляю, на основании чего сделан такой вывод. Что вы можете сказать о четности числа АХ? Сейчас подумаю. Оно заканчивается цифрой Х, которая может быть либо 2, либо 4, либо 6 (как последняя цифра числа ОХ). Следовательно, АХ число четное. А теперь заметьте, что произведение -5 OX a + 10 B в случае ОХ = 32 равно 32а + k, а в случае ОХ = 96 равно 96 + 3k. И в том, и в другом случае при нечетном k результат получается... Нечетным! Следовательно, ни один из этих случаев не подходит. Ох, Холмс! Может быть, вы теперь скажете, чему равна цифра а? -5 Попробую: OX a + 10 B = 64а + 2k. Ну конечно же, а не может равняться 2, поскольку иначе в ответе получилось бы трехзначное число. Итак, цифра а может быть равной только единице. Ну, и какие же варианты вам теперь осталось рассмотреть? Обратите внимание на то, что число АХ должно быть не меньше, чем число ОХ. АХ может быть равно либо 74, либо 84, либо 94. Поскольку АХ = 64 + 2k, то в каждом из этих трех случаев соответственно получаем k = 5, либо k = 10 (невозможно, так как k должно быть нечетным), либо k = 15. Итак, всего возможно два решения: 1,15 625 64 = = 74 и 1,46875 64 = 94. Ах, Холмс! Я не могу удержаться, чтобы не употребить слова ребуса для оценки вашего метода. Это действительно великолепно! Благодарю вас, Ватсон. А я, с вашего позволения, не могу удержаться, чтобы не употребить освободившееся вечернее время для игры на любимом музыкальном инструменте. Будьте добры, подайте мне, пожалуйста, футляр со скрипкой.

e

j

e

j

7 Квант ? 2

#