Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/01/52.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:01 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:15:59 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: принцип мопертюи

и Q S соответственно. Найдите длину отрезка K L , если P K : K R = 3:2, Q L : L S = 2:3. 5. Найдите все действительные значения c, для которых все числа из области значений функции

ние

arcsin

F GG H

b -x b

2

2

fx=

bg

x + cx - 1 2x - 3 x + 2
2

2

arcsin

F GG H

I JJ K

-b2
2

sin bx

bg

-

Вариант 14 (Институт стран Азии и Африки) 1. Решите уравнение
sin x + sin 6 x = 1 .
2 2

b -x b

2

I JJ K

+ b 2

sin bx

bg

= 2ab

2. Решите уравнение

2

-2 x +1

2

- 12 2

-x

2

+ 5 = 0.

принадлежат интервалу (1; 2). 6. Вокруг треугольника MKH описана окружность с радиусом r и центром в точке O. Длина стороны HM равна a. Для сторон треугольника2 выполнено 2 2 соотношение HK HM = HM 2 MK . Найдите площадь треугольника OKL, где L точка пересечения медиан треугольника MKH. 7. Каждый из трех брокеров имел в начале дня акции каждого из видов А и Б общим числом 11, 21 и 29 штук соответственно. Цены на акции в течение всего дня не менялись, причем цена одной акции вида А была больше цены одной акции вида Б. К концу торгового дня брокерам удалось продать все свои акции, выручив от продажи по 4402 рубля каждый. Определите цену продажи одной акции видов А и Б. Вариант 12 (факультет психологии) 1. Решите уравнение

имеет не менее 10 различных решений. Вариант 13 (социологический факультет) 1. Решите неравенство

3. Решите неравенство
3 x - 11 x-3 > 3 x + 14 6-x

.

x-3 3x



1 2

.

2. Решите уравнение

log2 x - 5 =

e

2

j

3 2

log

8

b1 - xg

4. В треугольнике ABC известны стороны BC = AC = 12, AB = 6; AD биссектриса. Найдите радиус R окружности, описанной около треугольника ADC. Выясните, что больше: R или 6,5. 5. Решите неравенство
log
2 x -3

.

e

x + 2 + x - 3 1.

j

4 x - x - 2 + 3 = 16 .
2. Какое из двух чисел больше:

1 2

log

1 7

FG H

2401 36

IJ K

+ 2 или tg

FG H

226 17

IJ K

?

3. Решите неравенство

4 x + 7 - 3x + 5 16 - 3x + 22x
4. Решите уравнение
2

0.

tg 8 x - tg 6 x =
при x -

1 sin 4 x

3 . , 44 5. В треугольнике ABC длина биссектрисы AL равна l, в треугольник ABL вписана окружность, касающаяся стороны AB в точке K, BK = b. На сторонах AB и BC в ABC выбраны точки M и N соответственно, так что прямая MN проходит через центр окружности, вписанной в ABC , причем MB + BN = c. Найдите отношение площадей треугольников ABL и MBN. 6. Найдите все целые значения параметров a и b, при которых уравне-

LM N

OP Q

3. 9 % коренного населения городa N в зимний период занято народным промыслом. Летом 36 % коренного населения уезжает из города, но общая численность населения за счет приезжающих туристов составляет 4/5 от численности в зимний период. Определите, какая часть от общей численности населения в летний период занята народным промыслом, если среди коренного населения доля занятых народным промыслом осталась такой же, как в зимний период. 4. В выпуклом четырехугольнике ABCD длина стороны AD равна 4, длина стороны CD равна 7, косинус 1 угла ADC равен , синус угла BCA 2 1 равен . Найдите сторону BC, если 3 известно, что окружность, описанная около треугольника ABC, проходит также и через точку D. 5. Найдите все натуральные значения параметра n, при каждом из которых задача 'Найти арифметическую прогрессию, если известны ее семнадцатый член и сумма n первых членов' не имеет решений или ее решением является бесконечное множество арифметических прогрессий. 6. Две кривые на плоскости (x; y), заданные уравнениями
y = x - 2x и
2

6. При перемножении двух натуральных чисел произведение было ошибочно увеличено на 372. При делении полученного (неверного) произведения на меньший сомножитель получилось в частном 90 и в остатке 29. Найдите эти числа. 7. При каких значениях параметра a система

имеет ровно три различных решения?
Задачи устного экзамена Физический факультет 1. Снаряд, вылетев из пушки со скоростью v под углом к горизонту, разорвался на две равные части в верхней точке траектории. Первая часть полетела вертикально вверх, а скорость второй части оказалась в n раз больше скорости первой. Найдите расстояние между осколками через время после разрыва, если к этому моменту еще ни один осколок не долетел до земли. 2. Шарик массой m прикреплен двумя невесомыми нерастяжимыми нитями длиной L каждая к горизонтальной штанге, симметрично закрепленной на вертикальной оси, вращающейся с угловой скоростью (рис.1). Угол между нитями . Найдите силы натяжения нитей. 3. Из листовой резины склеили трубку радиусом r и, заткнув один конец, стали надувать ее воздухом. Когда давление внутри трубки превысило атмос-

R | | S | | T

x - a - 1 a + 3 y + a + 2 a - 9a - 2a + 8 = 0, y= a + 3x
2

4

b

g

4

3

2

ФИЗИКА

x

2

КВАНT 1999/?1

9

+ y = 1,

пересекаются в четырех точках. Докажите, что 1) существуют по крайней мере две различные параболы, каждая из которых проходит через эти четыре точки; 2) эти четыре точки лежат на одной окружности, и найдите радиус этой окружности.

#