Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/01/48.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:01 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:14:04 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 2

зана с амплитудой колебаний смещения LA соотношением V = LA , где = g L круговая частота колебаний маятника. Тогда

концевого отрезка спицы, имеющего вдвое большую длину и расположенного на расстоянии L/2 от бусинки:
a
бx

W = 6

L mV L 2 mV 2
2

2

=6

L L

mgL

A

2

2

.

=

Fx m

=-

Gm M L 2 x1 m
2

b

g b L 2g b

=-

8GM L
3

x1.

Энергия маятника равна

Ускорение стержня при этом смещении бусинки равно

W=

= mgL

A

2

2

,

a

cx

=-

Fx M

=

Gm M L 2 x1
2

g MbL 2g

8Gm = x1 . L3

поэтому формула для W принимает вид
W. L Таким образом, энергия маятника будет систематически возрастать, получая за каждый период небольшое приращение, пропорциональное самой этой энергии W и величине L L . Отсюда для относительного увеличения энергии получаем W = 6 L

Для сложения ускорений справедливо то же правило, что и для сложения скоростей (в этом легко убедиться, например, путем дифференцирования). Тогда ускорение бусинки относительно стержня будет

ставляет mvx 2 , а круговая частота колебаний равна = k m . Вернемся к нашей задаче и проанализируем выражение для потенциальной энергии атома в кристалле. Отметим, что при r = r0 потенциальная энергия достигает минимума (проверьте это самостоятельно). Тогда при малых смещениях r r?r0 от положения равновесия приращение потенциальной энергии можно приближенно считать пропорциональным квадрату смещения:

2

c

h

U = U r0 + r - U r0 = k r

c

h ch bg
b g

2

2.

=6 . W L Теперь, принимая во внимание выражение для энергии маятника W = mgL
найдем
W = mgL 2 2 AA и

W

L

L Получено уравнение гармонических колебаний бусинки относительно спицы. Круговая частота этих колебаний равна
= 2 L 2G M + m L

a

бx1

= x1 = a

бx

-a

cx

=-

8G M + m
3

b

g

Найдем коэффициент пропорциональности k. При малых х справедливы приближенные равенства

x1 .

b1 + xg

n

= 1 + nx + n n - 1 x ,

2

1 1+ x = 1- x,

b

g

b

g

, 077 10

-6

c.

-1

и приращение потенциальной энергии при малых смещениях r от положения равновесия принимает вид

U = U r0 + r -

c

h

A

2

2

,

Бусинка вернется в центр спицы через четверть периода колебаний
= 2 10 c 4 2 с относительной скоростью , V = d 077 10
-8

U r0 = 36U Отсюда получаем

che
k m

0

r0

2

jbr g
0

2

.

=

T



6

W W

=2

A A

k=

72U
2 r0

0

и=

=

6 r0

2U m

.

.

м с.

Сравнивая между собой два выражения для W W , для относительного увеличения амплитуды угла за период получим A L =3 . A L Задача 5. Вдали от всех тяготеющих масс в космосе находится тонкая однородная спица длиной L = 10 м и массой М = 1 кг. По ней без трения может скользить бусинка массой m = = 0,1 кг. В начальный момент бусинка смещена относительно центра спицы на d = 1 см и система неподвижна. С какой по величине скоростью V (в системе спицы) и через какое время бусинка достигнет центра спицы? Гравитационная постоянная G = -11 2 2 Н м кг . = 6,67 10 В процессе колебаний центр масс системы тел будет оставаться неподвижным. Начало неподвижной системы отсчета ОХ поместим в центр масс, а подвижную систему отсчета OX1 свяжем со спицей. Ускорение бусинки при малом ее смещении x1 (в системе спицы) определяется силой притяжения

Задача 6. Потенциальная энергия атома в некотором кристалле описыUr вается формулой = =U
0

Искомую амплитуду X0 найдем из условия квантования колебаний:
E0 = h 2 = kX
2 0

= 8,8 10 -4 эВ, а r0 = 0,287 нм соответствует равновесному положению атома. При малых отклонениях от положения равновесия происходят колебания. Согласно квантовым представлениям, энергия колебаний с частотой = 2 может принимать значения En = h n + 1 2 , n = 0, 1, 2, ..., где h =

FH dr ri
0

12

- 2 r r0

d i IK
6

, где U

bg

2,

0

=

откуда 1 X0 = 2

h m
=

= hr0 12 2 mU
0

= 0,06 нм .

КВАНT$ 1999/?1

= 6,62 10 -34 Дж с постоянная Планка. Оцените наименьшую амплитуду X0 колебаний смещения атома в таком кристалле. Масса атома m = -24 -19 г; 1 эВ = 1,6 10 Дж. = 6,4 10 Для определения круговой частоты колебаний атома обратимся к гармоническим колебаниям груза массой m на пружине жесткостью k, находящегося на гладкой горизонтальной плоскости. При смещении на х от положения равновесия приращение потенциальной 2 энергии груза составляет kx 2 , приращение его кинетической энергии со-

b

g

Упражнения 1. На неподвижный груз массой m = 10 кг, лежащий на гладкой горизонтальной поверхности и прикрепленный пружиной жесткостью k = 4 10 3 Н/м к вертикальной стенке (рис.6), в течение некоторого времени действует постоянная по величине и направлению сила F. При каких значениях амплитуда колебаний скорости после прекращения действия силы будет максимальной? 2. Брусок массой m1 под действием пружины совершает на гладком столе гармонические колебания с амплитудой Х и периодом Т. Пуля массой m 2 , летящая вдоль направления движения бруска, попадает в него. В результате колебания прекращаются. Определите величину V скорости пули.

48