Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/01/30.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:00 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:12:49 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: ускорение

ШКОЛА В 'КВАНТЕ'

Публикуемая ниже заметка 'Такие простые качели' предназначена девятиклассникам, заметка 'Горки, электрические токи и Кулон' десятиклассникам, 'Физическая оптика и два верблюда' одиннадцатиклассникам.

Физика 911

вдоль которой перекатывается стержень при колебаниях: BN = L + R . Соответственно,
BM = L - R .

Такие

простые

качели

Тогда высоты hN и hM можно выразить формулами
hN = L + R - R hM = L -

> >

C RC

2 2

2 = L + R 2 , 2=

>

C

+ R

П.ХАДЖИ, Л.ГЛАЗОВА, В.ЛИЧМАН
ТО ЖЕ НЕ ЗНАЕТ С ДЕТСТВА

= L - R 2 .

>

C

качелей?! Самое простое качаться, ухватившись за веревку (в физике это называется: грузик массой m на невесомой нерастяжимой нити длиной l совершает колебания). Но одному скучно. А вот если у вас есть друг, легкая доска и бревно... Рассмотрим такую модель качелей. Пусть жесткий невесомый стержень (легкая доска) длиной 2L расположен на полуцилиндре (бревне) с радиусом R перпендикулярно его образующей. К обоим концам стрежня прикреплены точечные грузики массой m каждый (изобретательные, но очень маленькие мальчики). Стержень с грузиками может совершать малые колебания в вертикальной плоскости, перекатываясь без проскальзывания по поверхности полуцилиндра (см. рисунок). Определим частоту этих колебаний.
N hN m M hM B A C R O m

В положении равновесия, когда стержень располагается горизонтально, моменты сил тяжести грузиков относительно оси вращения А уравновешены. При отклонении от положения равновесия плечо силы тяжести правого грузика относительно новой оси вращения В увеличивается, а левого уменьшается. В результате вращающие моменты этих сил не урав-

КВАНT$ 1999/?1

новешивают друг друга, и возникает нескомпенсированный вращающий момент, закручивающий стержень по часовой стрелке. Пройдя по инерции положение равновесия, стержень начинает вращаться в обратную сторону, т.е. против часовой стрелки, перекатываясь без проскальзывания по поверхности полуцилиндра, снова возвращается в положение равновесия, затем отклоняется в другую сторону и т.д. Возникают периодические колебания стержня с грузиками, которые характеризуются конкретной частотой (периодом) колебаний. Для определения этой частоты воспользуемся законом сохранения энергии. Отклоним стержень от положения равновесия на небольшой угол , перекатывая его по поверхности полуцилиндра от точки А до точки В. Перпендикуляр ОВ к стержню в этом случае также поворачивается относительно своего первоначального положения на угол . Будем говорить о малых колебаниях. Критерием малости здесь является неравенство ?1 (разумеется, если угол выражать в радианах). Найдем потенциальную энергию грузиков относительно равновесного положения. При показанном на рисунке отклонении стержня левый грузик опускается на высоту hM , а правый поднимается на высоту hN , где hM = BM sin + AC , hN = BN sin - AC . Из рисунка видно, что AC = R - R cos =
2. Длина участка стержня от точки В до точки N равна первоначальной длине L плюс длина дуги окружности АВ,
= 2R sin 2 = R
2

Следовательно, потенциальная энергия обоих грузиков при повороте стержня на угол относительно положения равновесия равна
E p = mghN - mghM = mgR .
2

Если отклоненный от положения равновесия стержень предоставить самому себе, то благодаря возвращающему моменту сил он снова придет в положение равновесия, при этом грузики будут иметь некоторую скорость. Определим кинетическую энергию системы при прохождении ею положения равновесия. Пусть стержень в этот момент вращается вокруг точки А с угловой скоростью . Поскольку стержень относительно оси вращения располагается симметрично, линейные скорости v грузиков одинаковы и равны v = L , а кинетическая энергия обоих грузиков определяется выражением
Ek = 2 1 2 m v = m L .
2 22

При качаниях стержня, имеющих гармонический характер, максимальная угловая скорость стержня выражается формулой = , где частота колебаний стержня. Поэтому
Ek = m L .
22 2

>C

2

Полагая, что потенциальная энергия, запасенная стержнем при отклонении от положения равновесия, превращается полностью в кинетическую энергию, которую имеют грузики при прохождении ими положения равновесия (закон сохранения энергии), для частоты колебаний стержня с грузиками получаем следующее выражение:
= gR L

.

!