Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/01/20.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:00 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:11:50 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 2

энергии пружины:
2 Mu + Mv = Mv 0 ,

+ = , 2 2 2 откуда найдем скорость u связанных нитью тележек и скорость v правой тележки: v0 2v0 u= ,v=- . 3 3 Дальше крайняя левая тележка едет со скоростью u, а тележки с пружиной между ними отдельно от нее. Скорость центра масс тележек с пружиной составляет v0 6 , относительно него скорости этих тележек направлены навстречу друг другу и равны по v0 2 . Ясно, что условие задачи будет выполнено, если удар произойдет в тот момент, когда относительные скорости связанных пружиной тележек равны v0 2 и направлены друг от друга. Это произойдет ровно через половину периода колебаний (точнее через целое число периодов плюс полпериода) тележек с пружиной: 2
= 1 2 T= M 2k

Mu

2

Mv

2

2 Mv0

Тогда кинетическая энергия поршня получится равной
Ek = A - E p = 25 pV1 - p2V2 - p2 V2 - V1 . ,1

c

h

c

М.Учителев

h

Ф1663. На закрепленную тонкостенную непроводя-

щую сферу радиусом R нанесен распределенный равномерно по поверхности заряд Q. В стенке сделано маленькое круглое отверстие площадью S. В центре сферы вначале удерживают очень маленькое по размерам массивное тело, на которое помещен заряд q того же знака, что и заряд сферы. Тело отпускают, и оно начинает двигаться под действием только электростатических сил (сила тяжести отсутствует). Объясните, почему тело будет двигаться в сторону дырки. Найдите кинетическую энергию тела, когда оно окажется в центре дырки. Точно вычислить эту энергию трудно постарайтесь найти не слишком грубое приближение.

.

Удобно вести вычисления в системе отсчета, которая двигается вправо со скоростью v0 6 (система центра масс тележек с пружиной). В этой системе свободная левая тележка едет вправо со скоростью v0 2 , тогда минимальная длина нити (возможны и другие решения вместо нужно подставлять nT + ) составляет

L=

1 2

v0 =

v 2

0

M 2k

. Р.Александров

под тяжелым поршнем находится порция азота. На поршне сверху лежит груда песка, система находится в равновесии, начальный объем газа V1 , начальное давление p1 . Начнем медленно, по одной песчинке, убирать песок и уменьшим давление до p2 ; при этом объем газа увеличится до V2 (конечно, можно было этот объем вычислить, но будем считать, что это уже сделали и вам сообщили результат). Теперь проведем эксперимент иначе снимем всю порцию песка сразу. Какую кинетическую энергию имел бы в этом случае поршень в тот момент, когда объем газа составил бы V2 ? Считайте газ достаточно разреженным. При медленном расширении газа без подвода тепла работа совершается за счет уменьшения внутренней энергии газа. Тогда в первом случае работа газа равна разности его энергий в начале и в конце процесса расширения:

Ф1662. В вертикальном теплоизолированном сосуде

'Заполним' дырку такими же зарядами, что и на остальной части сферы, получив равномерно заряженную сферу, которая не создает поля внутри, и одновременно добавим туда же заряды противоположного знака, которые на поверхности дырки дадут в сумме нулевой заряд. Именно эти заряды противоположного знака, находящиеся на площади S, и создают поле внутри сферы, именно это поле и будет разгонять тело, несущее заряд q. Ясно теперь, что тело действительно будет двигаться в сторону дырки, а его кинетическая энергия определится разностью потенциалов между центром сферы и центром дырки. Поскольку поле равномерно заряженной сферы можно не учитывать, задача сводится к расчету разности потенциалов, создаваемой маленьким практически плоским участком площадью S, заряженным с плотностью
= Q 4 R2 . Вдали от 'дырки' поле похоже на поле точечного заряда, вблизи на поле заряженной плоскости. Расчет можно провести, нарисовав кривые напряженностей этих полей на одном графике и плавно перейдя от одного к другому (например, от бесконечности до точки пересечения кривых взять поле точечного заряда, а дальше до самого центра дырки однородное поле плоскости). В этом случае разность потенциалов найти будет несложно. Но можно сделать расчет немного проще. Найти потенциал поля дырки в центре сферы совсем просто: QS S ц = = 4 0 R 16 2 0 R3 . Для того чтобы найти потенциал в центре дырки, разобьем кружок на тонкие кольца и посчитаем сумму вкладов этих колец в потенциал центра (пусть радиус кольца х, его ширина dx): d д = 2 xdx 4 0 x = dx 2
0

e

j

, , A = U1 - U2 = 25 RT - RT2 = 25 p1V1 - p2V2 . 1
По условию задачи поршень массивный; следовательно, он будет двигаться медленно даже тогда, когда мы снимаем всю порцию песка сразу. Поэтому работа газа во втором случае получится такой же, как и в первом (медленное расширение газа без подвода тепла). Во втором случае работа газа идет на увеличение потенциальной и кинетической энергии поршня. Потенциальная энергия поршня увеличилась на

c

h

c

h

КВАНT$ 1999/?1

,

Ep = Mg H2 - H1 =

c

h

Mg V2 - V1 S

c

h

= p2 V2 - V1 .

c

h

Q S r = 2. 2 0 8 0 R Видно, что при малых размерах дырки ц? д , и кинетическая энергия тела равна qQ S Ek = q д = 2. 8 0 R д =

20