Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/01/19.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:00 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:11:49 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: вторая космическая скорость

ЗАДАЧНИК 'КВАНТА'

импульс вагона:

Mu 3 = mu1 - - mu

c

2

h = me
mu 2
2 2

v 2 + 2 gH + 2 gH .

j

Еще одно уравнение получим, используя закон сохранения энергии для упругого удара:
mu1 2
2

получается 'хорошей' инерциальной). В этой системе отсчета шайба движется по окружности радиусом L со скоростью V = u sin . Ускорение шайбы направлено вдоль стержня, поэтому сумма проекций сил в перпендикулярном стержню направлении равна нулю:

=

+

Mu 2

2 3

.

Mg + T cos - N = 0 ,
где Т натяжение нити, N реакция опоры стержня. В направлении вдоль нити получим 2 MV T + Mg cos - N cos = . L Кроме того, при максимуме скорости груза должны быть уравновешены действующие на него силы:

Из этих уравнений найдем минимальную скорость тележки наверху: 8 MmgH v= . M-m В знаменателе дроби стоит неприятное выражение М m, но мы уже говорили о том, что масса налетающей тележки должна быть меньше массы стоящего вагона. А.Зильберман

2T cos = 2 Mg .
Отсюда получим . 2 L sin 2 Приравнивая два полученных выражения для u , найдем 2 sin2 = . 3 Подставляя это значение в выражение для квадрата искомой скорости груза, получим

Ф1660. На гладкий горизонтально расположенный стержень надеты две одинаковые шайбы массой М каждая, связанные легкой нерасM M тяжимой нитью длиной 2L (см. рисунок). К середине нити привязан груз массой 2М, который вначале удерживают так, что нить не натянута, M но практически не провисает. Груз отпускают, и система приходит в движение без рывка. Найдите максимальные значения скоростей шайб и груза в процессе движения. Ускорение свободного падения g.
Легко связать скорости тел (нить нерастяжима):
v sin = u cos , или v = u ctg ,

T sin =

2

Mu

2

um =

4 gL 33

=2

gL 33

. А.Зильберман

где v скорость каждой шайбы, u скорость груза, угол между стержнем и вертикалью. Ясно, что шайбы все время ускоряются (проекция силы натяжения нити на направление движения шайбы все время положительна), и максимальную скорость vm шайбы будут иметь непосредственно перед ударом. Скорость груза перед ударом шайб падает до нуля; тогда из закона сохранения энергии 2 Mvm = 2 M gL 2 2 можно получить vm = 2 gL . Определим теперь максимальную скорость груза u m во время движения. Выразим эту скорость в виде функции угла и найдем максимум этой функции. Согласно закону сохранения энергии,
2 Mv 2
2 2

три одинаковые тележки, масса каждой тележки М (см. рисунок).Средняя тележка связана с одной из крайних легкой ниM M M тью, а с другой легкой пружинкой жесткостью k. Вначале систему удерживают так, что пружинка не деформирована, а нить не натянута, но практически не провисает. Толчком придадим 'подпружиненной' крайней тележке скорость v0 вдоль прямой, соединяющей тележки, в направлении от средней. При какой длине нити удар тележек, которые были связаны этой нитью, получится громче всего? Тележки все время двигаются вдоль прямой, пружинка при деформациях подчиняется закону Гука. До некоторого момента нить остается натянутой, и связанные ею тележки едут вместе. После того как скорость этой пары достигнет максимума, нить перестанет быть натянутой и не будет действовать на тележки. В этом случае крайняя левая тележка продолжит движение с постоянной скоростью и до самого удара будет двигаться равномерно. 'Самый громкий' удар получится в том случае, когда относительная скорость тележек непосредственно перед ударом будет самой большой. Скорость одной из тележек постоянна; значит, максимальная относительная скорость получается в те моменты, когда вторая тележка имеет максимальную скорость навстречу первой. Вначале проведем расчет первого этапа найдем максимальную скорость тележек при натянутой нити. Скорость максимальна (или минимальна) в те моменты, когда пружина не деформирована. Запишем уравнения законов сохранения импульса и энергии всей системы без учета

Ф1661. На гладком горизонтальном столе находятся

+

2M u 2
2

2

= 2 M gL cos ,
2

или

u=

2 gL cos 1 + ctg

= 2 gL cos sin .

Тут можно сразу найти максимум, например через производную, но можно это обойти при помощи простого приема рассматривая движение шайбы в системе отсчета, связанной с грузом (в районе максимума скорости груза его ускорение практически равно нулю, и система
5*

'