Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/06/kv0699probl.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:31 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:33:30 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: внешние планеты

ЗАДАЧНИК ЗАДАЧНИК

'КВАНТА'

'КВАНТА'

13

Задачи по математике и физике
Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач из этого номера следует отправлять не позднее 1 марта 2000 года по адресу: 117296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, 'Квант'. Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. На конверте в графе 'Кому' напишите: 'Задачник 'Кванта' ?6 99' и номера задач, решения которых Вы посылаете, например 'М1706' или 'Ф1713'. В графе '... адрес отправителя' фамилию и имя просим писать разборчиво. В письмо вложите конверт с написанным на нем Вашим адресом и необходимый набор марок (в этом конверте Вы получите результаты проверки решений). Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с Вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: 'Задачник 'Кванта', новая задача по физике' или 'Задачник 'Кванта', новая задача по математике'). В начале каждого письма просим указывать номер школы и класс, в котором Вы учитесь. Задачи М1706 и М1708 предлагались на Cанкт-Петербургской математической олимпиаде этого года.

Задачи М1706М1710, Ф1713Ф1717
АВС. Известно, что одна из точек пересечения описанных окружностей треугольников ACL и ВСМ лежит на отрезке АВ. Докажите, что ACB = 60њ. Е.Сопкина

М1706. Пусть AL и BM биссектрисы треугольника

доске окажутся в совокупности взаимно просты. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его противник? Д.Карпов

М1709. Окружность пересекает стороны прямоугольни-

М1707*. Квадрат клетчатой бумаги, состоящий из n Ч n

клеток, разрезан на 2n прямоугольников. При этом каждый прямоугольник расположен либо целиком ниже,

ка в восьми точках, которые последовательно занумерованы. Докажите, что площадь четырехугольника с вершинами в точках с нечетными номерами равна площади
! " #

& %

$

Рис.2 Рис.1

либо выше ступенчатой ломаной, разделяющей квадрат (рис.1). Докажите, что найдется клетка клетчатой бумаги, являющаяся одним из названных прямоугольников. В.Произволов

четырехугольника с вершинами в точках с четными номерами (рис.2). В.Произволов

М1710*. Пусть x, y, z, p, q, r положительные числа такие, что p + q + r = 1, x p y q z r = 1. Докажите неравенство
p2 x
2

М1708. Играют двое. Они по очереди пишут на доске

делители числа 100!, отличные от 1 (без повторений). Проигрывает тот игрок, после хода которого числа на

qy + rz

+

q2 y

2

px + rz

+

r2z

2

px + qy



1 2

. С.Калинин

4 Квант ? 6


14

КВАНT 1999/?6

Ф1713. Система состоит из большого тела массой М, к

которому прикреплены два блока, и двух одинаковых гладких тел массой М/5 каждое (рис.3). Каким должен быть коэффициент трения между большим телом и поверхностью стола, чтобы F это тело могло остаМ ваться неподвижным при любых значениях направленной верРис.3 тикально вниз силы F ? Нити считать легкими и нерастяжимыми, трение учитывать только между поверхностью стола и большим телом. Считайте, что за время решения этой задачи тела не успеют удариться о блоки. З.Рафаилов

Решения задач М1681М1690, Ф1698Ф1702
М1681. Квадрат целого числа оканчивается на ...21.
Может ли третья цифра справа быть четной? Ответ: не может. Число у, возводимое в квадрат, оканчивается на 1 или на 9. Пусть у = 10а + 1. Так как 2а оканчивается на 2, то последней цифрой ,будет а 1 или 6. Пусть у = 10а + 9. Так как 8(а + 1) оканчивается на 2, то а + 1 на 4 или на 9. Итак, последней цифрой а будет 3 или 8. Но 2 112 = 121 , 61 = 3721,
2 39 = 1521, 89 = 7921 . 2

находится 32 г кислорода, температура сосуда и кислорода 300 К, манометр показывает давление 1 атм. Еще внутри сосуда находится очень легкая капсула, содержащая 1 г гелия при температуре 500 К. Капсула лопается, и гелий выходит из нее в сосуд. Как будут меняться со временем показания манометра? Теплоемкость большого сосуда составляет 1000 Дж/К. А.Теплов

Ф1714. Внутри большого теплоизолированного сосуда

Значит, третья цифра справа всегда нечетна. Наметим другое решение. Если третья цифра четна, то 2 y 5 mod 8 противоречие: квадрат нечетного числа при делении на 8 дает остаток 1. В.Сендеров

>

C

М1682. Из какой-либо точки плоскости опускаются
перпендикуляры на высоты треугольника (или на их продолжения). Докажите, что основания перпендикуляров являются вершинами треугольника, подобного исходному.

Ф1715. Собрана схема их трех одинаковых батареек по 9 В и четырех одинаковых вольтметров (рис.4). Найдите показания приборов. А.Повторов
8 8

Для исходного треугольника АВС основания названных перпендикуляров, опущенных из точки X, точки A , B и C , а точка О точка пересечения его высот (см. рисунок).
)

O

O

8
Рис.4

8

*

X

B
C

Ф1716. Две одинаковые катушки индуктивности расположены недалеко друг от друга. Одна из них подключена к источнику синусоидального переменного напряжения последовательно с амперметром, к концам другой катушки подключен второй амперметр. Амперметры показывают 1 А и 0,2 А (угадайте сами, какой из них показывает 1 А, а какой 0,2 А). Один из амперметров отключают (при отключении амперметра цепь разрывается). Что покажет после этого оставшийся амперметр? Катушки, приборы и источник можно считать идеальными. Сопротивление проводов пренебрежимо мало. Р.Александров
шара радиусом R = 1 см находится точечный источник света. При каких значениях коэффициента преломления стекла n весь испускаемый источником световой поток выйдет наружу? Оцените долю вышедшего наружу потока при n1 = 1,6. Снаружи вакуум; источник излучает во все стороны равномерно. А.Зильберман

A

C

Заметим, что углы C XB и ВАС, а также AXB и АСВ равны. Соединим точки Х и О. Очевидно, что точки A , B и C лежат на одной окружности с центром в середине ХО (эти точки являются вершинами прямых углов, опирающихся на ХО). Поэтому угол C XB равен углу C AB , а угол AXB равен углу A C B , следовательно, треугольники ABC и A B C подобны. Р.Кудинов

Ф1717. На расстоянии d = 0,6 см от центра стеклянного

М1683. Имеется 20 бусинок десяти цветов, по две

бусинки каждого цвета. Их как-то разложили в 10 коробок. Известно, что можно выбрать по бусинке из каждой коробки так, что все цвета будут представлены. Докажите, что число способов такого выбора есть ненулевая степень двойки. Ясно, что пустых коробок нет. Если имеется коробка, в которой находится только одна бусинка, то эта бусинка в