Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/05/57.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:28 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:16:31 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: масса покоя

ИНФОРМАЦИЯ

57
сумма периметров этих прямоугольников в 101 раз больше периметра исходного прямоугольника. Какое наибольшее число прямоугольников могло при этом получиться? Приведите обоснование ответа. 4. В 400 коробках лежат 1999 шариков. Из любой коробки разрешается взять ровно 5 или 13 шариков и переложить их в любую другую коробку. Докажите, что с помощью таких операций можно собрать все шарики в одной коробке. 5. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС точки A1 , B1 , C1 расположены так, что AC1 = 2C1 B , BA1 = = 2 AC , CB1 = 2B1 A . Докажите, что 1 площадь треугольника, образованного при пересечении отрезков AA1 , BB1 , 1 от площади треуCC1 , составляет 7 гольника АВС. 6. Докажите, что уравнение 1 1 1 1 + + +K+ + x1 x2 x3 xn 1 + =1 x1 x2 x3 K xn всегда имеет решение в целых положительных числах. 11 класс 1. Трава на лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что если выпустить на луг 20 коров, то они съедят траву полностью за 8 часов, а если выпустить на тот же луг 26 коров то за 6 дней. Какое наибольшее число коров может кормиться на этом лугу все лето? Аппетит у всех коров в течение лета одинаков и неизменен. Скорость роста травы постоянна. 2. На координатной плоскости определите координаты точки, симметричной точке (7; 3) относительно прямой, заданной уравнением 5х + 13у = 1. 3. Пусть х и у действительные числа. Докажите, что равенство

банок проходит через линию за смену длительностью Т? 2. Тело массой m удерживается в покое на горке силой F , направленной под углом к поверхности горки (рис.2). С каким ускорением будет двигаться тело, если на него будет действовать такая же по величине сила, F
m g

обкладках U (рис.3), после замыкания ключа разряжается через резистор сопротивлением R на незаряженный вначале такой же конденсатор. Каков будет ток в цепи в момент, когда напряжение на первом конденсаторе уменьшится до 2U/3?

Первое задание по математике
9 класс 1. У бойца имелось не более 400 патронов, из которых 68,4% он выпустил по врагу во время перестрелки. Сколько патронов у него осталось? 2. Три окружности, проходящие через точку М, попарно пересекаются в точках А, В, С. Через точку А проведена прямая, пересекающая две из этих окружностей в точках D и E. Докажите, что точка F пересечения прямых BD и СЕ лежит на третьей окружности. 3. Внутри треугольника АВС выбрана точка О такая, что площади треугольников АОВ, ВОС, СОА равны. Докажите, что точка О совпадает с точкой пересечения медиан треугольника АВС. 4. Докажите, что при любом нечетном n, большем 1, произведение

Рис. 2

но направленная вверх вдоль поверхности горки? Угол между поверхностью горки и горизонтом . Трения нет. 3. В лифте, поднимающимся с постоянной скоростью v, подвешен на пружине жесткостью k груз массой M. Определите величину минимальной силы натяжения пружины после резкой остановки лифта. 4. После удара по шайбе она, скользя по льду, упруго ударилась о бортик и, вернувшись на прежнее место, остановилась. На каком расстоянии от бортика шайба находилась во время удара, если ее начальная скорость равнялась v? Коэффициент трения скольжения шайбы о лед ч . 5. Два одинаковых бруска лежат на плоскости. Пуля, летящая горизонтально, пробивает последовательно оба бруска навылет. Какой брусок пройдет большее расстояние до остановки при наличии трения? Сила сопротивления пули в древесине не зависит от скорости. 11 класс 1. Решите задачу 3 для 9 класса. 2. Решите задачу 1 для 10 класса. 3. Решите задачу 5 для 10 класса. 4. В герметичном сосуде объемом V, заполненном воздухом при давлении p0 , половину объема занимал надутый тоже воздухом резиновый шарик. После того как шарик лопнул и в сосуде установилась прежняя температура, давление там увеличилось на 10%. Каково было давление воздуха в шарике до его разрыва? 5. Конденсатор емкостью С, имеющий вначале разность потенциалов на

FG H

1+

1 2

+

1 3

+K+

1 n -1

IJ K

Ч 2 Ч 3K Ч n - 1

b

g

делится на n. 5. Внутри квадрата произвольно выбраны жите, что обязательно две из данных точек,

со стороной 1 5 точек. Доканайдутся такие что расстояние 1 между ними не больше . 2 6. Решите систему уравнений

UC

C

R
Рис. 3

10 класс 1. Из одного города в другой вниз по реке корабль плывет сутки, а обратно двое. За какое время можно добраться из верхнего города в нижний на плоту? 2. В треугольнике АВС, вписанном в окружность с центром О, проведены высоты AF и BG. Докажите, что отрезки ОС и FG перпендикулярны. 3. Прямоугольник, у которого одна из сторон в два раза длиннее другой, несколькими сквозными разрезами, параллельными его сторонам, разделили на прямоугольники. Оказалось, что

R | | | | S | | | | | T

x= y= z=

1 2 1 2 1 2

F GH FG H FG H

y+ z+ x+

1 1 z 1 x

y

I, JK IJ, K IJ. K

выполняется тогда и только тогда, когда х + у = 0. 4. Найдите отношение объемов правильного тетраэдра и правильного октаэдра, ребра которых равны 1. 5. Имеется квадратная таблица 8 Ч 8. Докажите, что невозможно расставить в ее клетках числа 1, 2, 3, 4, ..., 63, 64 так, чтобы числа в соседних клетках отличались не больше чем на 4. 6. Решите уравнение 1 1 + +K cos x cos 2 x cos 2 x cos 3x 1 = 0. ...+ cos 100x cos 101x

F H

x+ 1+ x

2

IF KH

y + 1+ y

2

I K

=1